问题补充：
一个完全平方数除以1001所得的余数共有几种可能最大的余数是？
答案：
1001=7×11×13
(7P+K)² = 49P² + 14PK + K²
当K=0、1、2……、6时,K²被7除余0、1、4、2、2、4、1,即只有0、1、2、4这四种余数.
(11P+K)² = 121P+22PK+K²
当K=0、1、2……、10时,K²被11除余0、1、4、9、5、3、3、5、9、4、1,即只有0、1、3、4、5、9这六种余数.
(13P+K)² = 169P+26PK+K²
当K=0、1、2……、12时,K²被13除余0、1、4、9、3、12、10、10、12、3、9、4、1,即只有0、1、3、4、9、10、12这七种余数.
综上,所得余数共有4*6*7 = 168种可能.
上述余数写成负数情况：
① 0、-3、-5、-6、-7、-10、-12、……
② 0、-2、-6、-7、-8、-10、-11、……
③0、-1、-3、-4、-9、-10、-12、
最前一项公共的是-10
因此有7*11*13-10 = 991
是完全平方数除以1001所得的余数中最大的情况.
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
有167种,最大的余数为991
我是用excel统计的,别问我为什么,我解释不清楚
供参考答案2:
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数，十位数字为偶数。 证明 奇数必为下列五种形式之一： 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得 (10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 证明 已知m^2=10k+6，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则 10k+6=(10n+4)^2=100n^2+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)^2=100n^2+(12n+3)x10+6 即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴ k为奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。 性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。 这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2 性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。 在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)^2是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)^2为8n型或8n+4型的数。 性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。 因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得 (3m)^2=9m^2=3k (3m+1)^2=9m^2+6m+1=3k+1 (3m+2)^2=9m^2+12m+4=3k+1 同理可以得到： 性质7：不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。 性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
