问题补充:
已知函数f(x)=ax3+bx2+x为奇函数,且f(1)-f(-1)=4.
(1)求实数a,b的值;
(2)若对于任意的x∈[0,2],都有f(x)<c2-9c恒成立,求实数c的取值范围.
答案:
解:(1)∵f(x)=ax3+bx2+x为奇函数,
∴f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立
即:-ax3+bx2-x=-ax3-bx2-x?2bx2=0任意x∈R恒成立
∴b=0,可得f(x)=ax3+x
∵f(1)-f(-1)=4
∴a+1-(-a-1)=4?a=1
综上所述,得a=1,b=0
(2)由(1)得f(x)=x3+x,
求导数得f′(x)=3x2+1>0对任意x∈R恒成立
∴f(x)是R上的增函数.当x∈[0,2]时,f(x)的最大值为f(2)=10
∵对于任意的x∈[0,2],都有f(x)<c2-9c恒成立
∴10<c2-9c?c2-9c-10>0?c<-1或c>10
综上所述,得实数c的取值范围为c∈(-∞,-1)∪(10,+∞).
解析分析:(1)根据奇函数的定义,采用比较系数的方法可得b=0,代入原函数再结合等式f(1)-f(-1)=4,可得实数a的值;(2)由(1)得f(x)=x3+x,利用导数工具得到函数是R上的增函数,从而在区间[0,2]上的最大值为f(2)=10,再结合f(x)<c2-9c恒成立,说明f(x)的最大值也小于c2-9c,建立不等关系可解得实数c的取值范围.
点评:本题以三次多项式函数为例,考查了函数的单调性、奇偶性及其综合等知识点,属于中档题.本题中处理不等式恒成立问题时,利用了函数的最值,是解决此类问题的最常用方法.
已知函数f(x)=ax3+bx2+x为奇函数 且f(1)-f(-1)=4.(1)求实数a b的值;(2)若对于任意的x∈[0 2] 都有f(x)<c2-9c恒成立 求