问题补充:
已知幂函数为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.
(I)求函数f(x)的解析式;
(II)设函数
(i)若函数g(x)仅在x=0处有极值,求a的取值范围;
(ii)对于任意的a∈[-1,1],不等式g(x)≤2在[-2,2]上恒成立,求b的取值范围.
答案:
解:(I)∵f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,
∴-m2+2m+3>0即m2-2m-3<0∴-1<m<3,
又∵m∈Z,∴m=0,1,2
而m=0,2时,f(x)=x3不是偶函数,m=1时,f(x)=x4是偶函数.
∴f(x)=x4
(II)(i)g(x)=x(x2+3ax+9),显然x=0不是方程x2+3ax+9=0的根.
为使g(x)仅在x=0处有极值,
必须x2+3ax+9≥0恒成立,
即有△=9a2-36≤0.解不等式,
得a∈[-2,2].这时,g(0)=-b是唯一极值.∴a∈[-2,2].
(ii)由条件a∈[-1,1],可知△=9a2-36<0,从而x2+3ax+9>0恒成立.
当x<0时,g(x)<0;当x>0时,g(x)>0.
因此函数g(x)在[-2,2]上的最大值是g(2)与g(-2)两者中较大者.
为使对方任意的a∈[-1,1],不等式g(x)≤2在[-2,2]上恒成立,
当且仅当上恒成立.
所以b≥28,因此满足条件的b的取值范围是[28,+∞).
解析分析:(I)f(x)为幂函数,在区间(0,+∞)上是单调增函数,故-m2+2m+3>0,结合m∈Z,可解出m,再验证奇偶性即可.
(II)(i)函数g(x)仅在x=0处有极值,转化为g(x)根的问题,考虑△
(ii)g(x)≤2在[-2,2]上恒成立,只要g(x)max≤2,由(i)可知g(x)在x=2或x=-2处取最大值,只要满足即可,转化为a和b的不等式,再考虑对于任意的a∈[-1,1]恒成立即可.
点评:本题考查待定系数法求解析式、幂函数的单调性、奇偶性、函数的极值问题、不等式恒成立问题,综合性较强.
已知幂函数为偶函数 且在区间(0 +∞)上是单调增函数.(I)求函数f(x)的解析式;(II)设函数(i)若函数g(x)仅在x=0处有极值 求a的取值范围;(ii)对