问题补充:
已知:如图,二次函数y=a(x+1)2-4的图象与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点D,点C是二次函数y=a(x+1)2-4的图象的顶点,CD=.
(1)求a的值.
(2)点M在二次函数y=a(x+1)2-4图象的对称轴上,且∠AMC=∠BDO,求点M的坐标.
(3)将二次函数y=a(x+1)2-4的图象向下平移k(k>0)个单位,平移后的图象与直线CD分别交于E、F两点(点F在点E左侧),设平移后的二次函数的图象的顶点为C1,与y轴的交点为D1,是否存在实数k,使得CF⊥FC1?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵C(-1,-4),CD=,
∴D(0,-3)
∴a=1
∴y=(x+1)2-4
即y=x2+2x-3.
(2)如右图,设抛物线对称轴与x轴的交点为N,则N(-1,0);
由(1)的抛物线:y=x2+2x-3,得:A(-3,0)、B(1,0)
在Rt△OBD中,OD=3,OB=1,tan∠BDO==.
若∠AMC=∠BDO,则tan∠AMN=tan∠BDO=;
在Rt△AMN中,AN=OA-ON=2,MN=AN÷tan∠AMN=6;
故M(-1,6)或(-1,-6).
(3)存在.
∵CC1=DD1=k,CC1∥DD1,
∴四边形CC1D1D为平行四边形,
∴C1D1∥CD,
∴∠D1?C1C=∠DCN=45°,
∵CF⊥FC1,
∴∠CC1F=45°
即△CFC1为等腰直角三角形,且CC1=k,
∴F(-k-1,-k-4),
由点F在新抛物线y=x2+2x-3-k上,
∴(-k-1)2+2(-k-1)-3-k=-k-4,
解得k=2或k=0(舍),
∴k=2.
当k=2时,CF⊥FC1.
解析分析:(1)根据函数的解析式,可以直接写出顶点C的坐标.
(2)根据(1)得到的抛物线解析式,能确定点A、B的坐标,在Rt△OBD中,首先求出∠OBD的正弦值,设抛物线的对称轴与x轴的交点为N,若∠AMC=∠BDO,那么它们的正弦值相等,在Rt△AMN中即可求出MN的长,由此得出点M的坐标.
(3)抛物线在向下平移的过程中,顶点、抛物线与y轴交点同时向下平移了k个单位,由此易发现四边形CC1D1D为平行四边形,进一步能推出△CFC1是等腰直角三角形,根据C、C1两点的坐标,结合等腰直角三角形的性质可写出点F的坐标,再代入平移后的抛物线解析式中进行求解即可.
点评:本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、平行四边形以及等腰直角三角形的性质等综合知识;(3)题的难度较大,能够准确判断出△CFC1的形状是打开解题思路的关键所在.
已知:如图 二次函数y=a(x+1)2-4的图象与x轴分别交于A B两点 与y轴交于点D 点C是二次函数y=a(x+1)2-4的图象的顶点 CD=.(1)求a的值.(