问题补充:
如图,在正方形ABCD中,AB=2,点P是CD上一动点,连接PA交BD于点E,过点E作EF⊥AP交BC于点F,过点F作FG⊥BD于点G,下列有四个结论:①AE=EF,②∠PAF=45°③BD=2EG,④△PCF的周长为定值,其中正确的结论是A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④
答案:
D
解析分析:(1)作辅助线,延长FE交AD于点L,连接CE,通过证明△ADE≌△CDE,可得:AE=CE,故需证明EC=EF,可证:AE=EF;(2)由EF⊥AP,AE=EF,可得:∠FAP=45°;(3)作辅助线,连接AC交BD于点O,证BD=2EG,只需证OA=GE即可,根据△AOE≌△EGP,可证OA=GE,故可证BD=2EG;(4)作辅助线,延长AD至点M,使AD=DM,过点C作CI∥FL,则IL=FC,可证AL=FE,再根据△MEC≌△MIC,可证:CI=IM,故△CEM的周长为边AM的长,为定值.
解答:(1)连接FP,EC,延长FE交AD于点L.∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ADB=∠CDE=45°.∵AD=CD,DE=DE,∴△ADE≌△CDE.∴EC=AE,∠PCE=∠DAE.∵∠ALF+∠LAE=90°,∴∠LFC+∠DAE=90°.∵∠PCE=∠DAE,∴∠EFC=∠ECF,∴EF=EC.∴EF=AE.(2)∵EF⊥AP,EF=AE,∴∠FAP=45°.(3)连接AC交BD于点O,可知:BD=2OA,∵∠AEO+∠GEF=∠GFE+∠GEF,∴∠AEO=∠GFE.∵AE=FE,∠AOE=∠EGF=90°,∴△AOE≌△EGF.∴OA=GE.∵BD=2OA,∴BD=2EG.(4)延长AD至点M,使AD=DM,过点C作CI∥FL,则:LI=FC,根据△MPC≌△MIC,可得:CP=IM,同理,可得:AL=FP,∴FP+FC+PC=AL+LI+IM=AM=4.∴△CPM的周长为4,为定值.故(1)(2)(3)(4)结论都正确.故选D.
点评:解答本题要充分利用正方形的特殊性质,在解题过程中要多次利用三角形全等.
如图 在正方形ABCD中 AB=2 点P是CD上一动点 连接PA交BD于点E 过点E作EF⊥AP交BC于点F 过点F作FG⊥BD于点G 下列有四个结论:①AE=EF