问题补充:
如图,⊙O与矩形ABCD的AD、AB、CD的三边分别相切于E、F、G三点,边BC与⊙O交于P、Q两点,若AD=4,AB=3,则sin∠PEQ的值为A.B.C.D.
答案:
B
解析分析:连接EO并延长,交圆O于点M,连接FG,过圆心O,连接OP,OQ,由圆O与矩形三边都相切,利用切线的性质得到OE垂直于AD,OF垂直于AB,OG垂直于DC,切线长AE=AF,DE=DG,同时得到四边形AEMB为矩形,四边形AEOF与EODG都为正方形,可得出AE=DE,AD即为圆的直径,求出圆的半径OP的长,再由EM-EO求出OM的长,由OM垂直于PQ,得到M为PQ的中点,在直角三角形OPM中,由OM等于OP的一半,得到∠OPM=30°,进而求出∠POM=60°,又三角形OPQ为等腰三角形,利用三线合一得到OM为∠POQ角平分线,确定出∠POQ的度数,利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,求出∠PEQ的度数,利用特殊角的三角函数值即可求出所求式子的值.
解答:解:连接EO并延长,交圆O于点M,连接FG,过圆心O,连接OP,OQ,∵⊙O与矩形ABCD的AD、AB、CD的三边分别相切于E、F、G三点,∴OE⊥AD,OF⊥AB,OG⊥DC,AE=AF,DE=DG,∴四边形ABME为矩形,四边形AEOF和EODG为正方形,∴EM⊥PQ,AE=DE,∴M为PQ的中点,又∵AD=4,AB=3,∴EM=AB=3,FG=AD=4,即圆的直径为4,∴OP=OE=2,OM=EM-OE=3-2=1,在Rt△OPM中,OM=OP,∴∠OPM=30°,∠POM=60°,∴∠POQ=120°,∴∠PEQ=60°,则sin∠PEQ=sin60°=.故选B.
点评:此题考查了切线的性质,勾股定理,垂径定理,矩形的性质,等腰三角形的性质,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.
如图 ⊙O与矩形ABCD的AD AB CD的三边分别相切于E F G三点 边BC与⊙O交于P Q两点 若AD=4 AB=3 则sin∠PEQ的值为A.B.C.D.