问题补充:
如图,在等边△ABC中,D、E、F分别是BC,AC,AB上的点,且DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF与△ABC的面积之比等于A.1:3B.2:3C.:2D.:3
答案:
A
解析分析:三角形的面积=×高×底,所以相似三角形的面积之比等于边之比的平方,由DE⊥AC,EF⊥AB,FC⊥BC得出△DEF与△ABC的角对应相等,即:△DEF∽△CAB,求出两个三角形的边之比即可,又知△ABC是正三角形,所以∠B=∠C=∠A=60°,利用余弦和正弦定理求出两个三角形的边之比.
解答:∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,∴∠C+∠EDC=90°,∠FDE+∠EDC=90°,∴∠C=∠FDE,同理可得:∠B=∠DFE,∠A=DEF,∴△DEF∽△CAB,∴△DEF与△ABC的面积之比=2,又∵△ABC为正三角形,∴∠B=∠C=∠A=60°,△EFD是等边三角形,∴EF=DE=DF,又∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,∴△AEF≌△CDE≌△BFD,∴BF=AE=CD,AF=BD=DC,在Rt△DEC中,DE=DC×sin∠C=DC,EC=cos∠C×DC=DC,又∵DC+BD=BC=AC=DC,∴==,∴△DEF与△ABC的面积之比等于:2==1:3.故选:A.
点评:本题主要考查如何求三角形的面积之比,若能证出两个三角形是相似三角形,此时三角形的面积之比等于对应边之比的平方,只要求出对应边比即可.
如图 在等边△ABC中 D E F分别是BC AC AB上的点 且DE⊥AC EF⊥AB FD⊥BC 则△DEF与△ABC的面积之比等于A.1:3B.2:3C.:2D