问题补充:
如图,边长一定的正方形ABCD,Q为CD上一个动点,AQ交BD于点M,过M作MN⊥AQ交BC于点N,作NP⊥BD于点P,连接NQ,下列结论:①AM=MN;②MP=BD;③BN+DQ=NQ;④为定值.其中一定成立的是A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
答案:
D
解析分析:由题可知A,B,N,M四点共圆,进而可得出∠ANM=∠NAM=45°,由等角对等边知,AM=MN,故①正确;由同角的余角相等知,∠HAM=∠PMN,所以Rt△AHM≌Rt△MPN,即可得出结论,故②正确;先由题意得出四边形SMWB是正方形,进而证出△AMS≌△NMW,因为AS=NW,所以AB+BN=SB+BW=2BW,而BW:BM=1:,所以==,故③正确.因为∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°,在∠NAM作AU=AB=AD,且使∠BAN=∠NAU,∠DAQ=∠QAU,所以△ABN≌△UAN,△DAQ≌△UAQ,有∠UAN=∠UAQ=90°,BN=NU,DQ=UQ,即可得出结论,故④正确;
解答:解:如图:作AU⊥NQ于U,连接AN,AC,∵∠AMN=∠ABC=90°,∴A,B,N,M四点共圆,∴∠NAM=∠DBC=45°,∠ANM=∠ABD=45°,∴∠ANM=∠NAM=45°,∴由等角对等边知,AM=MN,故①正确.由同角的余角相等知,∠HAM=∠PMN,∴Rt△AHM≌Rt△MPN∴MP=AH=AC=BD,故②正确,如图,作MS⊥AB,垂足为S,作MW⊥BC,垂足为W,点M是对角线BD上的点,∴四边形SMWB是正方形,有MS=MW=BS=BW,∴△AMS≌△NMW,∴AS=NW,∴AB+BN=SB+BW=2BW,∵BW:BM=1:,∴==,故③正确.∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°,∴在∠NAM作AU=AB=AD,且使∠BAN=∠NAU,∠DAQ=∠QAU,∴△ABN≌△UAN,△DAQ≌△UAQ,有∠UAN=∠UAQ,BN=NU,DQ=UQ,∴点U在NQ上,有BN+DQ=QU+UN=NQ,故④正确.故选D.
点评:本题利用了正方形的性质,四点共圆的判定,圆周角定理,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质求解.
如图 边长一定的正方形ABCD Q为CD上一个动点 AQ交BD于点M 过M作MN⊥AQ交BC于点N 作NP⊥BD于点P 连接NQ 下列结论:①AM=MN;②MP=BD