问题补充:
如图,AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G,且AB∥CD,连接CO并延长交⊙O一点M,弦MG的垂直平分线交CD于N,连接MN.
(1)求证:MN是⊙O的切线.
(2)若BE=4.5,CG=8,求MN的长.
答案:
(1)证明:
连接OG,
∵CN切⊙O于G,
∴OG⊥CN,
∴∠OGN=90°,
∵ON是MG的垂直平分线,
∴MN=NG,
在△OMN和△OGN中
,
∴△OMN≌△OGN(SSS),
∴∠OMN=∠OGN=90°,
∴OM⊥MN,
∴MN是⊙O的切线.
(2)解:连接OE,OG,过B作BQ⊥CN于N,
∵AB、CN是⊙O的切线,
∴OE⊥AB,OG⊥CN,
∵AB∥CN,
∴E、O、G三点共线,
∵EG⊥CN,BQ⊥CN,
∴EG∥BQ,∠BQG=90°,
∵AB∥CN,
∴四边形EBQG是矩形,
∴EG=BQ,∠BQC=90°,BE=GQ=4.5,
∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G,BE=4.5,CG=8,
∴BF=BE=4.5,CF=CG=8,
∴CQ=8-4.5=3.5,BC=8+4.5=12.5,
在△BQC中,由勾股定理得:EG=BQ=12,
∴OE=OG=OM=OZ=6,
∵CQ是⊙O的切线,CZM是⊙O的割线,
∴CG2=CZ×CM,
∴82=(CM-12)×CM,
∴CM=16,CM=-4(舍去),
在Rt△NMC中,∠NMC=90°,由勾股定理得:NM2+CM2=CN2,
∴MN2+162=(8+MN)2,
∴MN=24.
解析分析:(1)连接OG,根据线段垂直平分线求出MN=NG,根据SSS证△OMN≌△OGN,推出∠OMN=∠OGN=90°即可.(2)连接OE,OG,过B作BQ⊥CN于N,得出矩形BEGQ,求出CQ、BC长,求出EG、BQ,根据切割线定理求出CM,在△CMN根据勾股定理求出MN即可.
点评:本题综合考查了切线的性质和判定,切割线定理,勾股定理,切线长定理,矩形的性质和判定等知识点的应用,培养了学生推理能力,题目综合性比较强,有一定的难度.
如图 AB BC CD分别与⊙O切于点E F G 且AB∥CD 连接CO并延长交⊙O一点M 弦MG的垂直平分线交CD于N 连接MN.(1)求证:MN是⊙O的切线.(2