问题补充:
如图,A、B两点分别在x轴和y轴上,且OA=OB=,动点P、Q分别在AB、OB上运动,运动时,始终保持∠OPQ=45°不变,设PA=x,OQ=y.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)已知点M在坐标平面内,是否存在以P、Q、O、M为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(3)已知点D在AB上,且AD=,试探究:当点P从点A出发第一次运动到点D时,点Q运动的路径长为多少?
答案:
解:(1)∵OA=OB=,
∴AB=2,
∵OQ=y,
∴BQ=-y,
∵∠APO=∠PBO+∠BOP=45°+∠BOP,∠BQP=∠BOP+∠OPQ=45°+∠BOP,
∴∠APO=∠BQP,
又∵∠A=∠B=45°,
∴△BQP∽△APO,
∴=,即=,
∴y=.
(2)∵以P、Q、O、M为顶点的四边形是菱形,
当OP是菱形的对角线时,则PQ=OQ,
∵∠OPQ=45°,
∴∠OPQ=∠QOP=45°,
∴∠PQO=90°,
故可得点Q在OB中点处,
如图所示:
此时点M的坐标为(,0);
当OP是菱形的一边时,
①若OQ=OP,如图所示:
此时点M的坐标为(,);
②若OM=OP,
如图所示:
此时△BQP≌△APO,则BP=OA=,AP=AB-BP=2-,
过点P作PE⊥x轴于点E,
在等腰直角△APE中,PE==-1,AE=-1,OE=OA-AE=1,
∵四边形MOPQ为菱形,
∴点M与点P关于y轴对称,
∴点M的坐标为(-1,-1);
综上可得点M的坐标为:(-1,)或或.
(3)如图所示:
点P运动的3个界点位置分别是x=0,1,,
当点P在点A处时,x1=0时,y1=,
当点P在P1处时,x2=1时,y2=,
故BQ2=y1-y2==,
当点P位于点P3时,x3=时,y3=,
故Q2Q3=y3-y2=,
点Q运动的路径长=BQ2+Q2Q3=+=.
解析分析:(1)利用外角的知识先得出∠APO=∠BQP,继而得出△BQP∽△APO,然后利用对应边成比例可得出y与x的函数关系式;
(2)根据菱形的性质可得,可确定Q的坐标,再由菱形的性质即可确定M的坐标;
(3)根据(1)的函数关系式,即可得出点Q运动的路径长.
点评:本题考查了一次函数的综合题,涉及了菱形的判定与性质及等腰直角三角形的知识,用到了分类讨论的思想,分类讨论思想在数学解题中很重要,同学们注意认真掌握.
如图 A B两点分别在x轴和y轴上 且OA=OB= 动点P Q分别在AB OB上运动 运动时 始终保持∠OPQ=45°不变 设PA=x OQ=y.(1)求y与x的函数