问题补充:
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A、B(A在B的右边),与y轴正半轴交于点C,过点C作CD∥x轴,交抛物线于点D,抛物线的对称轴为直线l交CD于点M,交x轴于点N,四边形CDAN是平行四边形.
(1)若a=-1,,求b的值;
(2)若a=-1,求b与c的关系;
(3)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P,求PM:OC的值.
答案:
解:(1)∵a=-1,c=,
∴抛物线的解析式为y=-x2+bx+,
∴C(0,),
∵点N在对称轴上,
∴N(,0),
∵抛物线具有对称性,
∴D(b,),四边形CDAN为平行四边形,
∴AN=CD=b,
∴A(,0),
∴-(-)2+?b+=0,
b=±,
∵->0,
∴b=;
(2)∵a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-x2+bx+c,
∴C(0,c),
∵点N在对称轴上,
∴N(,0),
∵抛物线具有对称性,
∴D(b,c),
四边形CDAN为平行四边形,∴AN=CD=b,
∴A(,0),
∴-(-)2+?b+c=0,
∴4c=3b2;
(3)∵抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c,
∴C(0,c),
∵点N在对称轴上,
∴N(-,0),
∵抛物线具有对称性,
∴D(-,c),
四边形CDAN为平行四边形,∴AN=CD=-,
∴A(-,0),
∴-(-)2+?b+c=0,
4ac=-3b2;
∵P为抛物线的顶点,∴P(-,),
∴PM=-c=-,
∴==-==.
解析分析:(1)先将a和c的值代入y=ax2+bx+c,求出C点坐标,结合四边形CDAN是平行四边形便可求出b的值;
(2)将a=-1代入y=ax2+bx+c,再根据二次函数的性质便可求出b与c的关系;
(3)先求出抛物线的顶点P的坐标,便可求出PM:OC的值.
点评:本题是二次函数的综合题,其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法等知识点,是各地中考的热点和难点,解题时注意数形结合数学思想的运用,同学们要加强训练,属于中档题.
如图 已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A B(A在B的右边) 与y轴正半轴交于点C 过点C作CD∥x轴 交抛物线于点D 抛物线的对称轴为直线l交CD于点M