问题补充:
如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD经过⊙O上一点C,AD⊥DC,AC平分∠DAB.
(1)求证:直线CD为⊙O的切线;
(2)若AD=2,AC=,求AB的长.
答案:
证明:(1)连OC.
∵AD⊥DC,
∴∠ADC=90°.
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB.
又OC=OA,
∴∠CAB=∠ACO,
∴∠DAC=∠ACO,
∴OC∥AD.
∴∠OCD=180°-∠ADC=90°.
又OC是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线.
(2)解:连接BC;
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
又∠ADC=90°,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
由(1)可知∠DAC=∠CAB,
∴△ACD∽△ABC.
∴而AD=2.
∴,
∴,
故AB的长为.
解析分析:(1)要证DC是⊙O的切线,只要连接OC,求证∠OCD=90°即可;
(2)求AB的长,可以先证明△ACD~∽△ABC,得出比例关系.
点评:本题考查的是切线的判定,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.同时考查了相似三角形的判定和性质.
如图 已知AB是⊙O的直径 直线CD经过⊙O上一点C AD⊥DC AC平分∠DAB.(1)求证:直线CD为⊙O的切线;(2)若AD=2 AC= 求AB的长.