问题补充:
已知:如图△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别在线段AB,AC上,且∠EDF=90°
(1)求证:△DEF为等腰直角三角形;
(2)求证:S四边形AEDF=S△BDE+S△CDF;
(3)如果点E运动到AB的延长线上,F在射线CA上且保持∠EDF=90°,△DEF还仍然是等腰直角三角形吗?请画图说明理由.
答案:
(1)证明:如图,连接AD,∵∠A=90°,AB=AC,D是斜边AB的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD,∠1=45°,
∴∠1=∠B=45°,
∵∠EDF=90°,
∴∠2+∠3=90°,
又∵∠3+∠4=90°,
∴∠2=∠4,
在△BDE和△ADF中,,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形;
(2)解:同理可证,△ADE≌△CDF,
所以,S四边形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△BDE+S△CDF,
即S四边形AEDF=S△BDE+S△CDF;
(3)解:仍然成立.如图,连接AD,
∵∠BAC=90°,AB=AC,D是斜边BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD,∠1=45°,
∵∠DAF=180°-∠1=180°-45°=135°,
∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°,
∴∠DAF=∠DBE,
∵∠EDF=90°,
∴∠3+∠4=90°,
又∵∠2+∠3=90°,
∴∠2=∠4,
在△BDE和△ADF中,,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.
解析分析:(1)连接AD,根据等腰直角三角形的性质可得AD⊥BC,AD=BD,∠1=45°,从而得到∠1=∠B,再根据同角的余角相等求出∠2=∠4,然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=DF,从而得证;
(2)同理求出△ADE和△CDF全等,根据全等三角形的面积相等即可得证;
(3)依然成立,连接AD,根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD,∠CAD=45°,再根据等角的补角相等求出∠DAF=∠DBE,然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=DF,从而得证.
点评:本题考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形判定与性质,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
已知:如图△ABC中 ∠A=90° AB=AC D是斜边BC的中点 E F分别在线段AB AC上 且∠EDF=90°(1)求证:△DEF为等腰直角三角形;(2)求证: