问题补充:
如图,已知直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,以OA为直径作半圆,圆心为D.M是OB上一动点(不运动到O点、B点),过M点作半圆的切线交直线x=4于N,交AB于F,切点为P.连接DN交AB于E,连接DM.
(1)证明:∠OMD=∠ADN;
(2)设OM=x,AN=y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当以A、F、N为顶点的三角形与△ADE相似时,求直线MN的解析式.
答案:
解:(1)证明:连接ON.
∵直线y=x+4与x轴、y轴相交于A、B两点,
∴OA=OB=4,
又∵直线x=4经过点(4,0)且垂直于x轴,
即直线AN经过A点,且垂直于OA,
∴AN为半圆D的切线,
∴AN∥OB,
∴∠OMN+∠3=180°,
又∵OM、MN、NA均为半圆D的切线,
∴∠1=∠2=∠OMN,∠MND=∠AND=∠3,
∴∠2+∠MND=90°,则∠MDN=90°,
∴∠4+∠MD0=90°,而∠1+∠MD0=90°,
∴∠1=∠4即∠0MD=∠ADN;
(2)解:由△DNO∽△NDA可得,=,即=,
∴y与x的函数解析式为y=(0<x<4);
(3)解:当以A、F、N为顶点的三角形与△ADE相似时,则有:
①若∠3=∠AED,
在Rt△DNA中∠4+∠3=90°①
在△AEDK,∠4+∠AED=135°②
由②-①可得,∠AED=∠3=90°,
∴MN平行于是x轴,此时y=x=2,
∴直线NM的解析式为y=2;
②若∠3=∠4,
在Rt△DNA中∠4+∠3=90°,即2∠4+∠3=180°,
∴∠3=∠4=60°在Rt△DNA中,y=AN=AD?tan60°=2,
将y值代入解析式得x=,
∴M点坐标为(0,),N点坐标为(4,2),
由M、N两点的坐标求得直线MN的解析式为y=x+,
∴直线MN的解析式为y=2或y=x+.
解析分析:(1)直线y=x+4与x轴、y轴相交于A、B两点可以得出A,B的坐标,A的坐标是(4,0),易证AN为半圆D的切线,根据OM、MN、NA均为半圆D的切线,则∠1=∠2=∠OMN,∠MND=∠AND=∠3,有∠2+∠MND=90°,则∠MDN=90°∠4+∠MD0=90°,而∠1+∠MD0=90°,有∠1=∠4即∠0MD=∠ADN;
(2)由△DNO∽△NDA根据相似三角形的对应边的比相等,可以得到;
(3)当以A、F、N为顶点的三角形与△ADE相似时,应分∠3=∠AED和∠3=∠4两种情况讨论.求出M,N的坐标,就可以根据待定系数法求函数解析式.
点评:本题主要考查了切线长定理,以及待定系数法求函数解析式.
如图 已知直线y=-x+4与x轴 y轴分别交于A B两点 以OA为直径作半圆 圆心为D.M是OB上一动点(不运动到O点 B点) 过M点作半圆的切线交直线x=4于N 交