问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c的图象与直线y=-x+3交于A、B两点,且点A在y轴上,点B的坐标是(4,1).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C.
①求点C的坐标;
②在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△PAC的周长最小?若存在,求出此时PA+PC的值;若不存在,说明理由;
③除点C外,在坐标轴上是否存在点Q,使得△QAB为直角三角形?若存在,直接写出所有能使△QAB为直角三角形点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵y=-x+3,
∴x=0时,y=3,即A的坐标为(0,3).
把B(4,1)和A(0,3)代入y=-x2+bx+c,
得,解得,
∴抛物线的函数解析式为y=-x2+x+3;
(2)①如图,设直线AB:y=-x+3与x轴交于点D,则D(6,0).
在△AOC与△DOA中,
,
∴△AOC∽△DOA,
∴=,即=,
解得OC=,
∴点C的坐标为(-,0?);
②在抛物线的对称轴上存在一点P,能够使得△PAC的周长最小.理由如下:
∵y=-x2+x+3=-(x-)2+,
∴对称轴为直线x=.
设点A(0,3)关于直线x=的对称点为A′(3,3),连接A′C交直线x=于点P,连接PA,则PA=PA′,
此时PA+PC=PA′+PC=A′C,值最小,即△PAC?的周长的值最小.
∵A′(3,3),C(-,0?),
∴A′C==;
∴此时PA+PC=;
③分两种情况:
(i)以B为直角顶点时,过B点作AB的垂线与x轴交于点Q1,与y轴交于点Q2,
易求直线BQ1的解析式为y=2x-7,所以Q1(,0),Q2(0,-7);
(ii)以Q为直角顶点时,以AB为直径作圆交x轴于Q3,Q4,与y轴交于点Q5,
以AB为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5,
当y=0时,x=1或3,所以Q3(1,0),Q4(3,0);
当x=0时,y=1或3,所以Q5(0,1).
综上可知,所求点Q的坐标为:Q1(,0),Q2(0,-7),Q3(1,0),Q4(3,0),Q5(0,1).
解析分析:(1)先由y=-x+3,可得与y轴的交点A的坐标,再把B(4,1)和A(0,3)代入y=-x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的函数解析式;
(2)①设直线AB与x轴交于点D,则D(6,0),由△AOC∽△DOA可得,OC=,即点C的坐标为(-,0);
②由抛物线:y=-x2+x+3,可得其对称轴为直线x=,设点A关于x=的对称点为A′(3,3),连接A′C交直线x=于点P,根据轴对称的性质和两点之间线段最短可知,此时PA+PC的值最小,即△PAC的周长的值最小,运用两点间的距离公式求出A′C的长度,即为此时PA+PC的值;
③由于以A为直角顶点时,过A点作AB的垂线与坐标轴交于C,所以△QAB为直角三角形时,分两种情况讨论:(i)以B为直角顶点;(ii)以Q为直角顶点.
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,相似三角形的判定与性质,轴对称-最短路线问题,直角三角形的判定,综合性较强,有一定难度.运用数形结合、分类讨论是解题的关键.
如图 在平面直角坐标系中 抛物线y=-x2+bx+c的图象与直线y=-x+3交于A B两点 且点A在y轴上 点B的坐标是(4 1).(1)求抛物线的函数解析式;(2)