问题补充:
在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=ax2+4ax+c(a≠0)经过A(0,4),B(-3,1),顶点为G.
(1)求该抛物线的表达方式及点C的坐标;
(2)将(1)中求得的抛物线沿y轴向上平移m(m>0)个单位,所得新抛物线与y轴的交点记为点D.当△ACD时等腰三角形时,求点D的坐标;
(3)若点P在(1)中求得的抛物线的对称轴上,联结PO,将线段PO绕点P逆时针转90°得到线段PO′,若点O′恰好落在(1)中求得的抛物线上,求点P的坐标.
答案:
解:(1)将A,B坐标分别代入抛物线解析式得:,
解得:,
∴抛物线解析式为y=x2+4x+4=(x+2)2,
∴顶点C坐标为(-2,0);
(2)由题意得:D(0,m+4),
在Rt△AOC中,OA=4,OC=2,
根据勾股定理得:AC==2,
由图形得到∠DAC为钝角,要使△ACD为等腰三角形,只有DA=DC=2,
∴DA=m=2,
则D坐标为(0,2+4);
(3)设P(-2,n),如图所示,过O′作O′M⊥x轴,交x轴于点M,过P作PN⊥O′M,垂足为N,
易得PO=PO′,∠PCO=∠PNO′=90°,∠CPO=∠NPO′,
∴△PCO≌△PNO′(AAS),
∴O′N=OC=2,PN=PC=|n|,
∵四边形PCMN为矩形,
∴MN=PC=|n|,
①当n>0时,O′(n-2,n+2),代入抛物线解析式得:n2-n-2=0,
解得:n=2或n=-1(舍去);
②当n<0时,O′(n-2,n+2),代入抛物线解析式得:n2-n-2=0,
解得:n=2(舍去)或n=-1,
综上①②得到n=2或-1,
则P的坐标为(-2,2),(-2,-1).
解析分析:(1)将A与B坐标代入抛物线解析式中求出a与c的值,即可确定出抛物线解析式,配方后即可求出顶点C的坐标;
(2)由平移规律即C的坐标表示出D的坐标,在直角三角形AOC中,由OA与OC的长,利用勾股定理求出AC的长,由图形得到∠DAC为钝角,三角形ACD为等腰三角形,只有DA=AC,求出DA的长,即为m的值,即可确定出D的坐标;
(3)由P在抛物线的对称轴上,设出P坐标为(-2,n),如图所示,过O′作O′M⊥x轴,交x轴于点M,过P作PN⊥O′M,垂足为N,由旋转的性质得到一对边相等,再由同角的余角相等得到一对角相等,根据一对直角相等,利用AAS得到△PCO≌△PNO′,由全等三角形的对应边相等得到O′N=OC=2,PN=PC=|n|,再由PCMN为矩形得到MN=PC=|n|,分n大于0与小于0两种情况表示出O′坐标,将O′坐标代入抛物线解析式中求出相应n的值,即可确定出P的坐标.
点评:此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,二次函数的性质,平移及旋转的性质,勾股定理,等腰三角形的性质,以及坐标与图形性质,利用了数形结合及方程的思想,是一道中档题.
在平面直角坐标系xOy中(如图) 已知抛物线y=ax2+4ax+c(a≠0)经过A(0 4) B(-3 1) 顶点为G.(1)求该抛物线的表达方式及点C的坐标;(2)