问题补充:
某加油站需要制造一个容积为20πm3的圆柱形储油罐,已知用来制作底面的铁板每平方米价格为40元,用来制作侧面的铁板每平方米价格为32元,若不计制作损耗.
(Ⅰ)问储油罐底面半径和高各为多少时,制作的储油罐的材料成本价最低?
(Ⅱ)若制作的储油罐底面铁板半径不能超过1.8m,那么储油罐底面半径的长为多少时,可使制作储油罐的材料成本价最低?
答案:
解:(I)设圆柱形储油罐的底面半径为x米,高为h米,材料成本价为y元.
由题意得,.
∴y=2πx2?40+2πx?h?32…
==…
…=960π(元).
当且仅当,即x=2,h=5时取等号.
答:当储油罐的底面半径为2米,高为5米,材料成本价最低.…
(II)解:由(Ⅰ)知,当x=2时,y取最小值960π元,
当x不超过1.8米时,即0<x≤1.8.
下面探讨函数在(0,1.8]上的单调性.…
设0<x1<x2≤1.8,
=…
∵0<x1<x2≤1.8<2,
∴,
∴f(x2)-f(x1)<0,f(x2)<f(x1).
则函数在(0,1.8]上是减函数.
答:当储油罐底面铁板半径为1.8米,材料成本价最低.…
解析分析:(Ⅰ)设圆柱形储油罐的底面半径为x米,高为h米,由题意求出h的表达式,再求出材料成本价为y的表达式,根据基本不等式求出y的最小值,以及对应的x的值;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)知,当0<x≤1.8时需要判断函数在(0,1.8]上的单调性,根据单调性的定义证明步骤:取值、作差、变形、定号、下结论,得到函数的单调性,再求出函数的最小值.
点评:本题考查了函数的实际应用,利用基本不等式求函数的最值,以及根据单调性的定义证明步骤:取值、作差、变形、定号、下结论,得到函数的单调性,再求出函数的最小值.
某加油站需要制造一个容积为20πm3的圆柱形储油罐 已知用来制作底面的铁板每平方米价格为40元 用来制作侧面的铁板每平方米价格为32元 若不计制作损耗.(Ⅰ)问储油罐