问题补充:
如图,AB是⊙O的直径,过⊙O上的点E作⊙O的切线,交AB延长线于点C,过A点作AD⊥CE于点D,且与⊙O交于点F,连接AE、BF.
(1)AE是否为∠CAD的平分线,说明理由;
(2)若CB=2,CE=4,求⊙O的半径及BF的长.
答案:
解:(1)AE是∠CAD的平分线.
理由:连接OE,
∵CE是⊙O的切线,
∴OE⊥GE,
∵AD⊥CE,
∴OE∥AD,
∴∠OEA=∠DAE,
∵OE=OA,
∴∠CAE=∠OEA,
∴CAE∠=∠DAE,
∴AE是∠CAD的角平分线;
(2)设⊙O的半径为r,
在Rt△CEO中,∵CO2=OE2+CE2,CB=2,CE=4,
∴(2+r)2=r2+16,
∴r=3,
设BF与OE交于点G,
∵∠AFB=90°,
∴BF⊥AD,∵AD⊥CE,
∴BF∥CD,
∵OE⊥EC,
∴OE⊥BF,
∴BG=GF,
∵BF∥CD,
∴△OBG∽△OCE,
∴OB:OC=BG:CE,
∴,
∴BG=,
∴BF=2BG=.
解析分析:(1)AE是∠CAD的平分线.理由:连接OE,首先利用切线性质得到OE⊥GE,而AD⊥CE,由此得到OE∥AD,然后利用平行线的性质和等腰三角形的性质即可求解;
(2)设⊙O的半径为r,在Rt△CEO中利用勾股定理可以列出关于r的方程,解方程求出r,设BF与OE交于点G,然后利用已知条件和平行线的性质证明△OBG∽△OCE,接着他相似三角形的性质即可求解.
点评:本题考查了圆的切线性质,平行线的性质与判定及相似三角形的性质与判定.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
如图 AB是⊙O的直径 过⊙O上的点E作⊙O的切线 交AB延长线于点C 过A点作AD⊥CE于点D 且与⊙O交于点F 连接AE BF.(1)AE是否为∠CAD的平分线