问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(0,3),C(-1,0),将矩形OABC绕原点顺时针旋转90°,得到矩形OA′B′C′.设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N,抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点C、M、N.解答下列问题:
(1)分别求出直线BB′和抛物线所表示的函数解析式;
(2)将△MON沿直线MN翻折,点O落在点P处,请你判断点P是否在抛物线上,说明理由;
(3)将抛物线进行平移(沿上下或左右方向),使它经过点C′,求此时抛物线的解析式.
答案:
解:(1)由题意得,B(-1,3),B(3,1),
∴直线BB′的解析式为,
直线BB′与x轴的交点为M(5,0),与y轴的交点N(0,),
设抛物线的解析式为y=a(x-5)(x+1),
∵抛物线过点N,
∴,
∴,
∴抛物线的解析式为=;
(2)设P点坐标为(x,y),连接OP,PM,OP交NM于E,
∵O、P关于直线MN对称,
∴OP⊥MN,OE=PE,PM=OM=5,
∵N(0,),M(5,0),
∴MN===,OE===,
∴OP=2OE=2,
∴OP==2①,
PM==5②,
①②联立,解得,
把x=2代入二次函数的解析式y=-x2+2x+得,y=,
∴点P不在此二次函数的图象上;
(3)若抛物线上下平移经过点C,此时解析式为,
当y=1时,,
∴,=,
若抛物线向左平移经过点C,平移距离为,
此时解析式为=,
若抛物线向右平移经过点C,
此时解析式为.
解析分析:(1)由题意可知B,B′的坐标,可用待定系数法求得一次函数的解析式.由一次函数解析式可得到M,N两点的坐标,代入二次函数即可求得二次函数的解析式;
(2)设P点坐标为(x,y),连接OP,PM,由对称的性质可得出OP⊥MN,OE=PE,PM=OM=5,再由勾股定理求出MN的长,由三角形的面积公式得出OE的长,利用两点间的距离公式求出x、y的值,把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可;
(3)可上下平移,横坐标等于C′的横坐标,左右平移,纵坐标等于C′的纵坐标.
点评:一般用待定系数法来求函数解析式;抓住坐标系里点的平移的特点:图象左右平移,只改变横坐标;图象上下平移,只改变纵坐标.
如图 在平面直角坐标系中 矩形OABC的顶点A(0 3) C(-1 0) 将矩形OABC绕原点顺时针旋转90° 得到矩形OA′B′C′.设直线BB′与x轴交于点M 与