问题补充:
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0,-1),且b=-4ac.
(1)求点A的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否存在一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在,说明理由;若存在,求出点C的坐标,并求出此时圆的圆心点P的坐标.
答案:
解:(1)把B(0,-1)代入y=ax2+bx+c中,得c=-1,
由b=-4ac,得b=4a.
∵A为抛物线的顶点,
∴其横坐标为x=-=-2,即点A的坐标为A(-2,0);
(2)把点A的坐标(-2,0)代入抛物线解析式中,可得4a-2b-1=0,
把b=4a代入上式,得a=-,
则b=-1,
故抛物线的解析式为:y=--x-1;
(3)点C存在.
设符合题意的点C坐标为(x,y),如图1,
方法一:过点C作CD⊥x轴于点D,
连结AB、AC,
∵A在以BC为直径的圆上,
∴∠BAC=90°,
∴Rt△AOB∽Rt△CDA,
∴可得=,从而OB?CD=AO?AD,
∴1?(-y)=2?|x-(-2)|,-y=2|x+2|,
-y=2[-(x+2)],得y=2x+4,
又∵y=--x-1,
∴--x-1=2x+4,
整理得:x2+12x+20=0,
解得x1=-10,x2=-2,
从而得y1=-16,y2=0.
即点C的坐标为(-10,-16)或(-2,0);
方法二:过点C作CD⊥x轴于点D,
连结AB、AC,过点B作BE⊥CD于点E,
则E点坐标为E(x,-1),
在Rt△AOB中,AB2=AO2+BO2=5,
在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2=(x+2)2+y2,
在Rt△BCE中,BC2=BE2+CE2=x2+(y+1)2,
在Rt△ABC中,BC2=AB2+AC2,
故可得:x2+(y+1)2=5+(x+2)2+y2,
化简整理得y=2x+4,
又y=--x-1,故--x-1=2x+4,
整理得:x2+12x+20=0,解得x1=-10,x2=-2;
从而得y1=-16,y2=0.
即点C的坐标为(-10,-16)或(-2,0);
∵P为圆心,
∴P为直径BC的中点.
当点C坐标为(-10,-16)时,
取OD的中点P1,则P1的坐标为(-5,0);
连结PP1,过点B作BE⊥CD,垂足为点E,交PP1为于点F,如图2,
则四边形BODE为矩形,
点E的坐标为E(-10,-1),F点的坐标为F(-5,-1),
∵PF为△BCE的中位线,
∴PF=CE=|-16-(-1)|=,
∴PP1=PF+FP1=,
∴P(-5,-);
当点C坐标为(-2,0)时,点C与点A重合,
取OA的中点P2,则P2的坐标为(-1,0),
连结PP2,则PP2为△OAB的中位线,
∴PP2=OB=,
∴P(-1,-),
故点P的坐标为(-5,-)或(-1,-).
解析分析:(1)将点B的坐标(0,-1)代入抛物线解析式,再由b=-4ac,可得出点A的坐标;
(2)把点A的坐标(-2,0)代入抛物线解析式,再将b=4a代入可求出b的值,继而可得出抛物线的解析式;
(3)设符合题意的点C坐标为(x,y),证明Rt△AOB∽Rt△CDA,得出x的值,继而得出点C的坐标,根据直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处,即可求出点P的坐标,
点评:本题考查了二次函数的综合题,涉及了待定系数法求函数解析式,三角形的中位线定理及三角形的外接圆,注意直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点处,难度较大.
如图 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上 与y轴的交点为B(0 -1) 且b=-4ac.(1)求点A的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线上是否存