问题补充:
已知函数f(x)=ax2-4bx+2alnx(a,b∈R)
(I)若函数y=f(x)存在极大值和极小值,求的取值范围;
(II)设m,n分别为f(x)的极大值和极小值,若存在实数,b∈(a,a),使得m-n=1,求a的取值范围.(e为自然对数的底)
答案:
解:(I)f′(x)=2ax-4b+=,其中x>0,
由于函数y=f(x)存在极大值和极小值,
故方程f′(x)=0有两个不等的正实数根,即2ax2-4bx+2a=0有两个不等的正实数根,记为x1,x2,显然a≠0,
所以,解得;
(II)由b∈(a,a)得a>0,且(,),
由(I)知f(x)存在极大值和极小值,
设f′(x)=0的两根为x1,x2(0<x1<x2),则f(x)在(0,x1)上递增,在(x1,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增,
所以m=f(x1),n=f(x2),
因为x1x2=1,所以0<x1<1<x2,而且=∈(,),
由于函数y=x+在(0,1)上递减,所以,
又由于,
所以,
所以m-n=f(x1)-f(x2)
=-+4bx2-2alnx2
=+2a(lnx1-lnx2)
=-a+2aln,
令t=,则m-n=-a(t-)+2alnt,令h(t)=-(t-)+2lnt,
所以h′(t)=-1-+=-≤0,所以h(t)在上单调递减,所以e-e-1-2<h(t)<e2-e-2-4,
由m-n=ah(t)=1,知a=,所以.
解析分析:(I)由于定义域为(0,+∞)且y=f(x)存在极大值、极小值,所以f′(x)=0有两个不等的正实数根,从而可转化为二次方程根的分布问题,借助判别式、韦达定理可得不等式组,由此可得的取值范围;(II)由b∈(a,a)得a>0,且(,),由(I)知f(x)存在极大值和极小值,设f′(x)=0的两根为x1,x2(0<x1<x2),则f(x)在(0,x1)上递增,在(x1,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增,所以m=f(x1),n=f(x2),根据x1x2=1可把m-n表示为关于x1,a的表达式,且表达式为1,借助x1范围可得a的范围;
点评:本题考查利用导数研究函数的极值及函数的单调性,考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力,本题综合性强、计算量大,能力要求高.
已知函数f(x)=ax2-4bx+2alnx(a b∈R)(I)若函数y=f(x)存在极大值和极小值 求的取值范围;(II)设m n分别为f(x)的极大值和极小值 若