问题补充:
已知△ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,分别以AC,AB所在直线为x轴,y轴建立直角坐标系(如图).点?M(m,n)是直线BC上的一个动点,设△MAC的面积为S.
(1)求直线BC的解析式;
(2)求S关于m的函数解析式;
(3)是否存在点M,使△AMC为等腰三角形?若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理由.
答案:
解:(1)设直线BC的解析式为:y=kx+b,
∵BA=AC=4,
∴B(0,4),C(4,0),
∴b=4,k=-1,
∴直线BC的解析式为:y=-x+4,
(2)∵点M(m,n)是直线BC上的一个动点,
∴S=S△MAC
=×AC×n
=2n
=2(4-m)
=-2m+8,
∴S=-2m+8,
(3)存在这样的M,
①如图1,当∠ACM为顶角时,则AC=MC,
作MG⊥AB,MH⊥AC,
∵AC=AB=4,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴CM=4,BC=4,
∴BM=4-4,
∵∠ABC=45°,
∴BG=MG,
∴BG=MG=4-2,
∴AG=MH=2,
∴M(4-2,2),
②如图2,当∠ACM为底角时,则MA=MC,
作MF⊥AB,ME⊥AC,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴当M点为BC的中点时,MA=MC,
∵AC=AB=4,
∴MF=ME=2,
∴M(2,2),
③如图3,当M点与B点重合时,当∠ACM为底角时,则MA=AC,
∵B(0,4),
∴M(0,4),
④当M在第四象限时,AC=CM=4,过M作MD⊥x轴,连接AM,如图所示:
∵∠BAC=∠MDC=90°,∠ACB=∠DCM,
∴△ACB∽△DCM,
∴=,又AB=AC=4,
∴MD=CD=4×=2,AD=AC+CD=4+2,
∴M4(4+2,-2),
∴M点的坐标分别为:M1(2,2),M2(0,4),M3(4-2,2),M4(4+2,-2).
解析分析:(1)根据题意,即可推出B,C两点的坐标,根据待定系数法即可求出一次函数的解析式;
(2)根据图形可知,n=4-m,然后根据三角形的面积公式即可推出结果;
(3)分情况进行讨论:
①当∠ACM为顶角时,则AC=MC,作MG⊥AB,MH⊥AC,然后根据等腰直角三角形的性质和特殊角的三角函数即可推出BG=MG=4-2,继而推出AG=MH=2,即M(4-2,2);
②当∠ACM为底角时,则MA=MC,作MF⊥AB,ME⊥AC,由△ABC为等腰直角三角形,推出当M点为BC的中点时,MA=MC,根据题意即可推出MF=ME=2,即M(2,2);
③当M点与B点重合时,当∠ACM为底角时,则MA=AC,由B(0,4),可得M(0,4),综上所述,即可推出M点的坐标.
点评:本题主要考查等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定、待定系数法求一次函数解析式,关键在于正确的画出图形,分情况进行讨论分析,用数形结合的思想推出相关的线段的长度,熟练掌握运用相关的性质定理.
已知△ABC ∠BAC=90° AB=AC=4 分别以AC AB所在直线为x轴 y轴建立直角坐标系(如图).点?M(m n)是直线BC上的一个动点 设△MAC的面积为