问题补充:
如图,E为正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,点F在CD上,且EF⊥BD.
求证:DE=CF.
答案:
证明:在正方形ABCD中,∠C=90°,
∵EF⊥BD,
∴∠BEF=90°,
∴∠C=∠BEF=90°,
在Rt△BEF和Rt△BCF中,,
∴Rt△BEF≌Rt△BCF(HL),
∴EF=CF,
∵BD为正方形ABCD的对角线,
∴∠BDF=45°,
∴∠DFE=90°-45°=45°,
∴∠BDF=∠DFE,
∴DE=EF,
∴DE=CF.
解析分析:利用“HL”证明Rt△BEF和Rt△BCF全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=CF,再根据正方形的对角线平分一组对角求出∠BDF=45°,然后求出∠DFE=45°,从而得到∠BDF=∠DFE,根据等角对等边的性质可得DE=EF,从而得证.
点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等角对等边的性质,证明得到Rt△BEF和Rt△BCF全等是解题的关键.