问题补充:
设数列{an}的前n项和为sn,对任意的正整数n,都有an=5sn+1成立,记.,
(Ⅰ)求数列{an}与数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)证明:b2k-1+b2k<8(k为正整数);
(Ⅲ)设数列{bn}的前n项和为Rn,是否存在正整数k,使得Rk≥4k成立?若存在,找出一个正整数k;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(Ⅰ)当n=1时,a1=5a1+1,∴.又∵an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1
∴an+1-an=5an+1,即,∴数列{an}成等比数列,其首项
∴
(II)证明:由(I)知由bn=4+,∴b2k-1+b2k=8+(-4)2k-1=8????????
(Ⅲ)不存在正整数k,使得Rk≥4k成立.证明如下:
∴当n为偶数时,设n=2m(m∈N*),∴Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-1+b2m)<8m=4n
当n为奇数时,设n=2m-1(m∈N*),∴Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1<8m-4=4n
∴对于一切的正整数n,都有Rn<4n,∴不存在正整数k,使得Rk≥4k成立.
解析分析:(Ⅰ)令n等于1代入an=5sn+1中,即可求出首项a1,然后把n换为n+1,利用an=5sn+1表示出an+1,两个式子相减并利用Sn+1-Sn=an化简后即可得到?的值即为公比,得到此数列为等比数列,然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可,因而可得出bn的通项公式;(Ⅱ)由(I)知由bn=4+,从而可证;(Ⅲ)根据bn的通项公式,算出的前n项和为Rn,再计算出是否存在正整数k.
点评:此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求出,会确定一个数列为等比数列,考查数列递推式的求解及相关计算.是一道综合题.
设数列{an}的前n项和为sn 对任意的正整数n 都有an=5sn+1成立 记. (Ⅰ)求数列{an}与数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)证明:b2k-1+b2k<8(k