问题补充:
已知定义在R上的奇函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a,b,c,d∈R)且x=1时,f(x)取得极小值-.
(I?)求f(x)的解析式;
(II)求f(x)的单调区间;
(III)当,x∈[-1,1]时,函数图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?证明你的结论.
答案:
解:(I?)∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,∴d=0.又? f(1)=-f(-1),
∴b=0,∴f(x)=ax3 +cx,f′(x)=3ax2+c.
由f′(1)=0 及 f(1)=-?得?? 3a+c=0,a+c=-,a=,c=-.
∴f(x)=x3-=0.
(II)令 f′(x)=0,解得 x=1,或 x=-1.∵f′(x)在-1的左侧大于0,右侧小于0,
f′(x)在1的左侧小于0,右侧大于0,故f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞),减区间为(-1,1).
(III)当x∈[-1,1]时,函数图象上不存在两点使结论成立.假设图象上存在两点A、B,时的过此两点的
切线互相垂直,则由f′(x)=?可知,k1=,k2=,
且 =-1.∵x∈[-1,1],∴(x12-1)?(x22-1)≥0,与上式相矛盾,
故假设不成立.
解析分析:(I?)利用 f(0)=0 求出 d 值,由f(1)=-f(-1)求得b 值,利用f′(1)=0 及 f(1)=-,求得a 和c?的值,从而求得f(x)的解析式.(II)利用导数的符号求出函数的单调区间,使导数大于0的区间即为函数的增区间,使导数小于0的区间即为函数的减区间.(III) 假设图象上存在两点A、B,时的过此两点的切线互相垂直,则 k1=,k2=,且k1?k2=-1.这与x∈[-1,1],k1?k2=(x12-1)?(x22-1)≥0矛盾,故假设不对.
点评:本题考查函数在某点存在极值的条件,利用导数研究函数的单调性,导数的几何意义,用反证法证明(III)当x∈[-1,1]时,函数图象上不存在两点使结论成立,是解题的难点.
已知定义在R上的奇函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a b c d∈R)且x=1时 f(x)取得极小值-.(I?)求f(x)的解析式;(II)求f(x)的单