问题补充:
解答题设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且对任意正整数n,点(an+1,Sn)在直线2x+y-2=0上.
(Ⅰ)?求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)是否存在实数λ,使得数列{Sn+λ?n+}为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,则说明理由.
答案:
解:(Ⅰ)∵点(an+1,Sn)在直线2x+y-2=0上,∴2an+1 +Sn -2=0.?①
n≥2时,2an+sn-1-2=0.???????②
①─②得 2an+1 -2an+an=0,∴=? (n≥2).
再由a1=1,可得 a2=.
∴{an}是首项为1,公比为的等比数列,
∴an =.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得? sn==2-.
若数列{Sn+λ?n+}为等差数列,
则 s1+λ+,s2+2λ+,s3+3λ+?成等差数列,
∴2(s2+2λ+)=(s1+λ+)+(s3+3λ+),解得?λ=2.??????????????????
又λ=2时,Sn+λ?n+=2n+2,显然 {2n+2}成等差数列,
故存在实数λ=2,使得数列 {Sn+λ?n+}成等差数列.解析分析:(Ⅰ)由已知条件可得 2an+1 +Sn -2=0,可得n≥2时,2an+sn-1-2=0,相减可得=? (n≥2).由此可得{an}是首项为1,公比为的等比数列,由此求得数列{an}的通项公式.(Ⅱ)先求出sn=2-,若数列{Sn+λ?n+}为等差数列,则由第二项的2倍等于第一项加上第三项,求出λ=2,经检验λ=2时,此数列的通项公式是关于n的一次函数,故满足数列为等差数列,从而得出结论.点评:本题主要考查等差关系的确定,根据数列的递推关系求通项,属于中档题.