问题补充:
解答题已知椭圆经过点,且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)动直线交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T.若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
∴∴
又∵椭圆经过点,代入可得b=1,
∴,故所求椭圆方程为(3分)
(2)首先求出动直线过(0,)点.(5分)
当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:
当L与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程:x2+y2=1
由
即两圆相切于点(0,1),因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1).事实上,点T(0,1)就是所求的点.(7分)
证明如下:
当直线L垂直于x轴时,以AB为直径的圆过点T(0,1)
若直线L不垂直于x轴,可设直线L:
由
记点A(x1,y1)、(9分)==
所以TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过点T(0,1)
所以在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.(12分)解析分析:(1)由题设知,所以,椭圆经过点,代入可得b=1,,由此可知所求椭圆方程为(2)首先求出动直线过(0,)点.当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:;当L与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程:x2+y2=1.由.由此入手可求出点T的坐标.点评:本题考查圆锥曲线的性质和综合运用,解题时要认真审题,仔细求解.
解答题已知椭圆经过点 且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程;