上次介绍了不同张角对应的弦长是怎么出来的:从古希腊到伊斯兰世界:点满技能树
注意:本文涉及的公式过多,可能会有打错。
出这样一个数据表只是提供一个快速计算的捷径。好比做数理应用题的时候,一个式子出来后代入数值计算,这个数据表起到的作用相当于加快最后代入数据出结果的时间。然而问题在于,应用题难做不是因为难算,而是难出式子,对于古人而言并不像现代人做题那样,直接套个上课讲过的现成公式就能OK的,如果这个公式第一次用,最好是证明(至少也要说明)这个式子可以用。
天文学需要处理的计算,大多涉及天球上多点之间数值关系的处理,毕竟天体通常被古人假想为嵌在天球上的。因此球面三角学的问世也是在所难免的。
托勒密用到的球面几何基本上沿用梅涅劳斯《球面学》的结论。
当然,首先要说明的是“球面三角形”本身是什么。所谓球面三角形,就是指球面上的三个点用三个大圆上的弧线连起来所围成的形状,说啥都不如来一张图:
ABC三个点围成一个球面三角。
梅涅劳斯球面三角最重要的贡献自然是“梅涅劳斯定理”,如图所示:
当然,证明也比较容易,利用相似三角的关系就能出来了,辅助线上图都作好了:
题外话:还看见一种更漂亮的证明:Menelaus from 3D,来源 Matrix67:
过 DEF 所在直线作一个新的平面(没错,辅助线做到三维空间中去了)。分别过 A、B、C 作原平面的垂线,与新的平面交于点 A’、B’、C’。于是,我们有: AA’ / BB’ = AF / BF BB’ / CC’ = BD / CD CC’ / AA’ = CE / AE三式乘在一块儿,结论得证。Matrix67:最帅的Menelaus定理证明方法
当然,梅涅劳斯定理其实有两条,刚才那个是第一条,还有第二条:
证明略,很容易看出来的。
以上还不是重点,真正高能的地方是梅涅劳斯把这条定理往球面三角推广:
图上的小写字母对应各段的弧长,r是球的半径,那个时候还没有 sin 这种写法,而是用别的形式代替的,whatever,这个无所谓关系不大。这个定理的证明也不难,首先如上图作各种辅助线:D点和M点是半径OG、OC割那两条弦的交点;Γ是半径OF和弦AB延长线交点。Γ,D,M这三个点共线的证明并不难(?这里笔者不敢保证这段描述是否无误,如果错误麻烦指出)。不难发现可以把平面版本的梅涅劳斯定理套进去:
其次,对于弦AE和BE可以这样处理:
同理:
对于弦AB可以这样处理:
三个式子相乘就出来了。
和平面版本一样,球面版本的式子也有两个,另一个是:
而托勒密在《天文学大成》里面介绍的就是另一种,不过他本人并没有证明过,梅涅劳斯在他的《球面学》里面也没找到证明,不过想要证明也不难,首先作辅助线,延长EB、EA交于X:
点X和点E关于圆心点O对称,这个显而易见,然后:
同理:
代入到刚才那个式子后:
然后,做个变换就行: