上次介绍了不同张角对应的弦长是怎么出来的：从古希腊到伊斯兰世界：点满技能树
注意：本文涉及的公式过多，可能会有打错。
出这样一个数据表只是提供一个快速计算的捷径。好比做数理应用题的时候，一个式子出来后代入数值计算，这个数据表起到的作用相当于加快最后代入数据出结果的时间。然而问题在于，应用题难做不是因为难算，而是难出式子，对于古人而言并不像现代人做题那样，直接套个上课讲过的现成公式就能OK的，如果这个公式第一次用，最好是证明（至少也要说明）这个式子可以用。
天文学需要处理的计算，大多涉及天球上多点之间数值关系的处理，毕竟天体通常被古人假想为嵌在天球上的。因此球面三角学的问世也是在所难免的。
托勒密用到的球面几何基本上沿用梅涅劳斯《球面学》的结论。
当然，首先要说明的是“球面三角形”本身是什么。所谓球面三角形，就是指球面上的三个点用三个大圆上的弧线连起来所围成的形状，说啥都不如来一张图：
ABC三个点围成一个球面三角。
梅涅劳斯球面三角最重要的贡献自然是“梅涅劳斯定理”，如图所示：
当然，证明也比较容易，利用相似三角的关系就能出来了，辅助线上图都作好了：
题外话：还看见一种更漂亮的证明：Menelaus from 3D，来源 Matrix67：
过 DEF 所在直线作一个新的平面（没错，辅助线做到三维空间中去了）。分别过 A、B、C 作原平面的垂线，与新的平面交于点 A’、B’、C’。于是，我们有： AA’ / BB’ = AF / BF BB’ / CC’ = BD / CD CC’ / AA’ = CE / AE三式乘在一块儿，结论得证。Matrix67:最帅的Menelaus定理证明方法
当然，梅涅劳斯定理其实有两条，刚才那个是第一条，还有第二条：
证明略，很容易看出来的。
以上还不是重点，真正高能的地方是梅涅劳斯把这条定理往球面三角推广：
图上的小写字母对应各段的弧长，r是球的半径，那个时候还没有 sin 这种写法，而是用别的形式代替的，whatever，这个无所谓关系不大。这个定理的证明也不难，首先如上图作各种辅助线：D点和M点是半径OG、OC割那两条弦的交点；Γ是半径OF和弦AB延长线交点。Γ，D，M这三个点共线的证明并不难（？这里笔者不敢保证这段描述是否无误，如果错误麻烦指出）。不难发现可以把平面版本的梅涅劳斯定理套进去：
其次，对于弦AE和BE可以这样处理：
同理：
对于弦AB可以这样处理：
三个式子相乘就出来了。
和平面版本一样，球面版本的式子也有两个，另一个是：
而托勒密在《天文学大成》里面介绍的就是另一种，不过他本人并没有证明过，梅涅劳斯在他的《球面学》里面也没找到证明，不过想要证明也不难，首先作辅助线，延长EB、EA交于X：
点X和点E关于圆心点O对称，这个显而易见，然后：
同理：
代入到刚才那个式子后：
然后，做个变换就行：
