史宁中教授认为，数学教育的终极目标之一是会用数学语言表达现实世界。对于学生而言，数学学习的过程就是对学习的知识，根据理解程度纳入自己的知识体系，在解决问题时，重新构建数学语言，用不同形式的数学语言进行描述和分析，从而解决实际问题。正如苏联数学教育家斯托利亚尔在《数学教与学》一书中所说：“数学教学也就是数学语言的教学”。
坐标旋转数字计算机(coordinate rotation digital computer，CORDIC)可通过移位和加减等步骤计算平方根、正余弦、模、相位以及完成坐标变换，易于在FPGA等VLSI器件中实现，广泛应用于FFT、矩阵分解、数控振荡器和数字频率合成器等领域[1～3].
本文以苏教版教材二年级上册“认识平均分”的教学为例，谈谈如何在教学实践中提升学生的数学语言表达能力。
一、巧妙过渡，前后衔接促规范
“先学后教，以学定教”是目前主流的生本教学理念。在以学生为主体的课堂教学中，要想更好地促进学生思考，将学生的思维引向深处，教师的过渡语言起着重要的作用。巧妙的过渡语言可以是对上一部分知识的概括与总结，也可以是对学生自由表达的数学语言的凝练和提升，能为学生提供一个规范的数学语言表达框架，帮助学生更好地用规范的数学语言表达所学的知识。
【教学片段1】
师：6个桃可以怎样平均分？
（学生动手操作、交流）
师（出示图；略）：观察这些分法，它们有什么不同的地方？
生1：第一种是每3个一份，分成了2份；第2种是每2个一份，分成了3份；第三种是每1个一份，分成了6份。
俄罗斯入境主要以圣彼得堡、伏尔加沿岸为中心。俄罗斯的外国人有80%来自莫斯科、圣彼得堡。20%来自其他地区。莫斯科游客主要集中在德国、美国，其余来自法国、意大利、中国、波兰、日本、西班牙等国家。目前，去俄罗斯旅游的中国人越来越多，每年都成百万的增长，数量已经赶超其他国家，仅次于美国、德国。中国已经成为重要的莫斯科客源国家之一。莫斯科重视与中国旅游产业的市场发展，在其相关旅游城市进行合理的规划，为中国游客提供便利。
研究组患者的术后休克纠正时间、体温恢复时间、乳酸清除时间、PT恢复时间和住院时间均少于对照组，差异有统计学意义(P<0.05)，见表3。
师：观察得真仔细，那它们有什么相同的地方？
生2：它们都是6个桃。
生3：它们每份分得同样多，都是平均分。
在控制分析主机中，根据指定的运动场景，以1.772 GHz为基准计算相应的包含多普勒的频率数据，由（13）式计算出DDS芯片需要的参数，并将参数发送至信号模拟器。
师：说得真好！不管分成了几份，每份几个，只要每份分得同样多，就是平均分。
师：现在老师来考考大家，准备好了吗？8面小旗，每人分2面，可以分给多少个人？
师：每人分2面是什么意思？
生4：每份2面。
5)数据全面共享：系统遵循IEC 61850标准，可与其他系统交互数据及状态，也可为其他系统提供所需要的数据和状态，提供实时防误闭锁服务，并能够与其他系统互联，实现数据及状态信息的全面共享。
师：也就是每2面一份。
师：请你在学习单上分一分、填一填。
（学生独立完成）
师：这是平均分吗？为什么？
师：像这样每几个一份，每份分得同样多，就是平均分的一种方法，你学会了吗？
在初步了解平均分的概念后，学生继续将6个桃进行平均分，对平均分的概念进行巩固和运用。通过对平均分的三种分法进行比较，学生能够发现它们的相同点和不同点，进而教师采用了一句巧妙的过渡语：“不管分成了几份，每份几个，只要每份分得同样多，就是平均分。”这样的过渡语一方面对平均分的概念进行了泛化、总结和升华，更重要的是使学生明白了如何用规范的数学语言介绍平均分以及判断分法是否属于平均分，很自然地为下一环节的判断提供了语言表达框架，为学生规范地表达做好了铺垫。在学生充分掌握平均分概念后，教师对平均分提出具体要求，引导学生在学习单上按照每2面一份平均分小旗，交流反馈后说出过渡语：“像这样每几个一份，每份分得同样多，就是平均分的一种方法，你学会了吗？”规范且自然的过渡，为学生接下来操作小棒后的表达提供了重要的表达范式。两句巧妙的过渡语，在前后衔接中让学生的表达有“根”可寻，有“路”可探，语言表达更规范、更有数学味，潜移默化中提升了学生的表达能力。
二、愤悱启发，抛砖引玉促思考
数学语言表达能力的提升需要一定的过程，是在长期的表达实践中不断训练出来的。然而很多教师采用“一言堂”“满堂灌”的方式，使得学生少有表达的机会，教师也没有采取办法引导学生在表达时朝着更规范、更简洁的方向改进，学生的表达能力自然很难得到提升。因此，很多数学概念、术语可以让学生按照自己的理解，用自己的语言说一说，在学生基于自身的理解表达想法后，教师要适时进行启发、点拨，引导学生用标准规范的数学语言来交流，丰富和完善数学语言系统，从而提高数学语言表达能力。
【教学片段2】
师：像这样每份分得同样多，我们把它叫作平均分。
师：这句话的关键词是什么？
生1：每份、同样多。
师：说得真好，我们一起读一遍，重读关键词。
师：6个桃除了每3个一份进行平均分，还可以怎样平均分……
孔子曰：“不愤不启，不悱不发。”很多时候学生已经明白了，但是却无法表达出来，无法讲清楚。如果教师适时进行启发，学生就能更好地“发”出来。教学片段中，教师引导学生找出关键词，其实就是在引导学生自己去发现表达时的重点，为后面的表达做好准备。要想更好地理解平均分的概念，学生就必须继续将6个桃平均分。在教学时，很多时候教师会采用“还可以怎样平均分”这样一句话一带而过，平均分的要求是明确了，但是学生的表达还是初级的、混乱的。如何引导学生在理解平均分含义后更规范地表达呢？正如教师所言：“6个桃除了每3个一份进行平均分，还可以怎样平均分？”充分运用启发性原则，一方面启发学生继续探索不同的平均分分法，另一方面启发学生用“每3个一份”这样更规范、更简洁的数学语言来表达。学生在听到教师的要求后，先对比自己的语言与教师的要求，再逐步向规范的数学语言靠拢。这里，教师的语言起到了抛砖引玉的作用，学生实现了表达能力的提升。
三、动手操作，直观呈现促理解
二年级学生仍处于具体形象思维阶段，语言表达时缺乏条理性和逻辑性，对于“平均分”这样抽象的数学概念，学生理解起来是存在困难的。尽管学生在日常生活中有一定的分东西的经验，但是缺少平均分东西的实践活动的思考，没有运用规范的数学语言去描述与表达平均分的过程。因此，学生在表达时往往是一种机械的模仿，对其中的语言并未真正理解。与其空洞地模仿，不如给学生搭建“会说”数学语言的平台——操作。
【教学片段3】
师：这里有12根小棒，要将它平均分，你准备怎么分？
生1：每2根一份、每4根一份……
师：12根小棒，每2根一份，分成了几份呢？请你先分一分，再说一说，最后在学习单上填一填。
生2（上台操作）：12根小棒，每2根一份，分成了6份。
师：在学习单上怎么圈呢？
生3：因为每2根一份，所以是每2个圏一圈。
师：非常好！
表4、表5的数据表明，仅掺入纳米氧化硅的膨润土，膨胀性能得到提高，间接地增加了膨胀力，同时其失水收缩度也较大。这种干湿循环过程中变化幅度较大的特征，对处于核废料处置库热-水耦合环境的膨润土来说，容易发生疲劳损伤。
师：请你像刚才这样再分一分、说一说、填一填，看看12根小棒还可以怎样平均分……
根据心理学理论，人脑信息的储存主要有语言和形象两种，但形象的容量应是语言的上百倍。因此，教师要引导学生拿着学具摆一摆、拼一拼，引导学生画一画、写一写，让抽象的数学知识变得更直观，使学生能在理解的基础上表达。如果只是给了学生一个语言范式，而没有让学生经历动手操作的过程，那么学生的表达就是“无源之水、无本之木”。教学片段中，学生先按照“每2根一份”进行平均分，接着叙述平均分的过程，并用圏一圈的方式再现平均分的过程；然后学生继续按照这样的流程探索其他平均分的方法，结合动手操作及动笔圏一圈，学生的表达更有依据。在手脑的共同协作下，学生的动手操作、动脑理解与动嘴表达有机地结合起来，加深了学生对数学语言的理解和记忆。在理解的基础上运用数学语言表达平均分的过程，是源于学生内心需求的，因此有利于学生产生提升数学语言表达能力的自我需求，提高学生学习的积极性。
当xe=1时，单元为实体结构；当xe=0时，单元为空洞结构.通过控制惩罚指数p的大小可以使单元密度或快或慢地逼近0或者1，这样便使得目标函数接近理想状态下0～1的离散结构，并取得最优材料分布结构.
四、转换语言，关联学习促发展
数学语言一般可以分为文字语言、符号语言和图表语言。文字语言主要是指经过加工、改造、限定和精确化而形成的语言，常以数学概念或术语的形式出现。符号语言是表达和记录数学的语言，贯穿数学学习的全过程，主要可分为数量符号、运算符号、关系符号和结合符号。图表语言主要是指以图形、图像和表格为呈现形式的语言，如情境图、统计图表、实物图等。
数学语言表达能力的提升，应该是在三种形式的数学语言共同发展、相互促进的过程中实现的，即转换数学语言，实现不同形式数学语言间的关联学习。就“平均分”这节课来看，教材呈现了很多情境图——分桃、分小棒、分饼干等，做到了图文结合。如果巧妙地运用直观的情境图，将其转换成文字语言，就能提升学生的文字语言表达能力。反之，如果引导学生根据文字语言思考实际情境，学生就能将抽象的文字转换为直观的图像，就可以更好地理解“平均分”的含义和过程，学生既提升了文字语言表达能力，又提升了图表语言表达能力。
【教学片段4】
出示“想想做做”第二题：先圏一圈，再填空。
出示：饼干图（第一小题；图略）
师：怎么圈？
晚明官箴文化的繁荣，还表现为这一时期对宋元及明中前期官箴书的刊刻与传播。《重刻合并官常政要全书》即收录有宋代的《昼帘绪论》《吕氏官箴》，元代的《牧民忠告》《风宪忠告》《庙堂忠告》《为政九要》，及明中前期的《初仕录》《居官格言》《蒋公政训》(即蒋廷璧《璞山蒋公政训》)。
生1：两个两个地圈。
师：为什么？
为了准确观察小麦新品种在我区的丰产性等品种特性，提升小麦高产创建的质量和种植科技水平，发挥品种的增产优势，挖掘新品种高产潜力，研究掌握其高产配套栽培技术，为大面积推广提供科学依据，特安排落实了小麦新品种试验示范。
生1：因为每2块一份。
师：请你像这样先圏一圈，再填一填，看着圈好的图说一说。
师：谁能看着圈好的饼干图说说平均分的过程。
生2：10块饼干，每2块一份，分成了5份。
师：非常好，请其他同学试着像他这样说一说。
政府扶持社会力量参与社会治理是当前我国社会治理研究中主流的政策建议和价值判断，在基层社会领域，来自政府、市场和公民三方的力量如何实现合作，以何种方式合作便成为实践探索的方向和理论研究的重心。当大量的公共事务和公共服务推进到社区范围，仅凭社区自治组织无法将其传递和渗透到基层网络，或者说传统社会等级制的末梢无法有效嵌入基层社会。而政府为此扶持的大量社会力量在国家的政治、社会动员中又该以何种身份、地位和形式嵌入到基层社会网络中，这是当前基层社区治理结构架构的首要问题。
师：第二小题怎么圈？
生3：三个三个地圈。
师：看着图和你的同桌说说是怎么平均分的。
师：谁来说说第三小题平均分的过程。
生4：15块巧克力，每5块一份，分成了3份。
师：谁知道他是怎样圈的？
（3）智能合约层：部署在以太坊上，并与系统进行交互。智能合约层主要负责将逻辑层的数据处理结果（如电子数据及其分片的指纹信息、用户节点的积分信息等）锚定到区块链层的存储区内。系统智能合约主要由若干的结构体组成（如文件、纪录、用户等），并以此结构方式存储电子数据的关键信息。该方法显著地提高了系统查询电子数据的效率，增强了系统的运行速率。
生5：每五块圈一圈，圈了3次。
方法：在泡脚的时候，两手握拳，用拳背平行在脊柱上下反复搓“肾腧穴”，通过经络刺激肾脏，让肾脏兴奋起来。
师：是这样吗？
……
师：你在生活中见过平均分吗？请你完成学习单，可以写一写，也可以画一画，选择你喜欢的方式，下节课我们继续交流。
根据Folk & Ward的峰度分级原则，以不同沟作为分界条件：木楠村样品点峰态为尖锐、中等尖锐；大沙溪样品点主要以尖锐、中等尖锐占优势，平坦只占20%；上堰沟样品点平坦为50%，尖锐与中等尖锐为50%；下堰沟样品点峰态为平坦。
学生在阐述学习知识时，常常会出现思维中断、不会表达或者表达含糊不清的情况，究其原因，就是数学语言的转换不够顺畅导致的。其实，数学知识的学习过程就是对数学语言进行转换、内化和运用的过程，是不同形式数学语言间的关联学习过程。教学片段中，教师首先引导学生思考“怎么圈”这个关键问题。学生根据“每2块一份”想到两个两个地圈，教师在课件上呈现圈的过程，潜移默化中，学生学会了将文字语言向图表语言的转换，化抽象为直观；接着学生根据自己圈好的情境图，和同桌说说平均分的过程，在与同桌交流的过程中，学生学会了将图表语言转换成文字语言，化直观为抽象；最后由一名学生说出平均分的过程，其他学生想象平均分的情境图，实现文字语言向图表语言的转换。可以看到，整个教学过程中，教师始终围绕文字语言和图表语言的转换，从抽象到直观，再从直观到抽象，学生不仅掌握了文字语言和图表语言，而且在两种不同形式语言的转换与关联学习中掌握了提升数学语言表达能力的方法。在课的结尾处，学生用自己喜欢的方式展示生活中的平均分现象，课堂又一次达到高潮。学生有的用文字书写，有的用画图表示，还有的图文结合，无论哪一种呈现方式，无不体现着学生数学语言表达能力的提升与发展，而这种发展是持久且深远的。
语言是思维的外壳，思维的发展与语言密切相关。语言的准确性能够体现出思维的周密性，语言的连贯性能够体现出思维的逻辑性，语言的多样性能够体现出思维的丰富性，因此，运用数学语言进行规范表达的能力养成显得尤为重要。然而，能力的养成不是一蹴而就的，是一个长期的过程。在今后的教学实践中，教师可以从语言的过渡、提问的启发性、操作的有效性及数学语言的相互转换等方面做出积极的努力与尝试，助力学生数学语言表达能力的提升。
［参考文献］
［1］卢清荣.转换数学语言 培养表达能力［J］.云南教育（小学教师），（10）：8-9.
［2］李海东.在数学语言转换中建模［J］.教育科学论坛，（4）：43-46.
