顾险峰（纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授、清华大学丘成桐数学科学中心访问教授）
大学时的室友蒋步星是古典吉他的狂热爱好者, 他最为喜爱的吉他曲是西班牙著名吉他作曲家泰雷加的《阿尔罕布拉宫的回忆》。他的演奏意境深远，出神入化。全曲的旋律从头至尾都用轮指来演奏，颤音的效果令人心碎。精妙地描画出阿尔罕布拉宫昔日的辉煌华丽，也叹惋着历史变迁的无情。
阿尔罕布拉宫(Alhambra Palace)为中世纪阿拉伯摩尔人在西班牙建立的格拉纳达王国的王宫。因为伊斯兰艺术中禁止偶像崇拜，王宫的装饰上用到了大量的对称图案。19，荷兰著名艺术家埃舍尔参观了阿尔罕布拉宫，这成为他一生中至关重要的转折点。他为王宫中镶嵌图案的巨大精神力量所震撼，沉浸在无尽的对称模式之中。这激发他创作了大量的杰作，将深邃抽象的几何和完美精妙的艺术相结合，揭示了自然的真理，挑战着人类的想象力。
“天使和恶魔”一直是埃舍尔所钟爱的主题，他的一生中曾为之创作了三件不朽的作品(如下图)，创作历程几近二十年。
1.欧几里得平面上的镶嵌，1941(No.45)
2.球面上的镶嵌， 1942(Sphere with Angles and Devils)
3.和双曲空间上的镶嵌，1960( Circle Limit IV)
埃舍尔在1941年创作了在欧几里得平面上的天使和恶魔的镶嵌，这一版本最为直观。白色的前景是双翼天使，黑色背景是蝙蝠状的恶魔。当我们凝视天使的时候，恶魔隐身为背景;当我们注视恶魔的时候，天使融为背景。但是，每个人都无法同时既看到天使又看到恶魔。这一点非常具有哲理，天使和恶魔既对立又统一，两者相互克服而又相互依存。真实的世界是由天使和恶魔交织而成，我们应当注视天使而对恶魔视而不见，还是被恶魔摄取魂魄而对天使失去信心?这里，任何两个天使都是同样大小，彼此相差一个平移、旋转和镜像反射，亦即欧氏空间的刚体变换。
第二年，埃舍尔用枫木雕刻了球面上的天使和恶魔的镶嵌。天使和恶魔相互衬托，对比更为强烈。同样，任何两个天使之间相差一个球面的刚体变换，即三维欧氏空间的旋转加反射。
二十年后，埃舍尔技艺炉火纯青，登峰造极，创作出双曲空间中天使和恶魔的镶嵌。从欧氏几何到球面几何，埃舍尔只用了一年，但是从球面几何到双曲几何，埃舍尔花了二十年，全人类则花了近两千年。
在历史上很长的一段时间里，人们一直认为欧几里得的几何是唯一“真实”的几何。欧氏公理体系中的平行公设一直被认为是不辨自明的：过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。许多几何学家力图用其他公理来证明这一公理，从而将平行公设降为定理。无数艰辛的探索最终都归为失败。
罗巴切夫斯基毅然用和平行公设相矛盾的命题将其替换：过直线外一点，有无穷条直线和已知直线平行，在逻辑上无懈可击地发展出一系列的定理，从而建立了非欧几何。非欧几何在直觉上匪夷所思，在逻辑上却是毫无矛盾。这使得严肃的数学家们深深地困惑。对绝大多数人而言，这似乎证明了纯粹数学很多时候不过是无聊的思维游戏。庞加莱构造了双曲空间的模型，从而使得玄虚的双曲几何变得坚实而直观。埃舍尔的第三幅天使和恶魔就是庞加莱思想的艺术表现。
日常生活中，曲率为负的曲面有很多，最为常见的是马鞍面。但是，整体的负曲率曲面无法在三维欧氏空间中光滑地嵌入。因此，对于整体双曲平面的感知超出人们的感官经验，只能付诸于想象和逻辑。庞加莱圆盘实际上是双曲平面的参数域，而非双曲平面本身。庞加莱圆盘上的黎曼度量和欧几里得圆盘的度量之间相差一个函数，即所谓的共形因子。
在圆盘中心，共形因子为1，双曲度量和欧氏度量一致;在圆盘边界，共形因子趋向无穷。如果有一个人从圆盘中心沿一条直径向边界匀速奔跑，那么他将永远也无法到达边界。在埃舍尔的双曲天使和恶魔镶嵌画作中，所有的天使都是等面积的，并且彼此相差一个双曲的刚体变换。同样，所有的恶魔都是等面积的，彼此也相差一个双曲的刚体变换。相对于欧氏几何和球面几何而言，双曲几何具有更多的对称性。
埃舍尔的三幅天使和恶魔的镶嵌画统摄了几乎所有曲面的几何。考察所有带有黎曼度量的曲面，我们可以用一些变换群将它们分类。如果两张曲面间的微分同胚保持角度不变，则我们称之为“保角变换”或“共形变换”。例如下面的例子，一张三维人脸曲面被映到单位圆盘。我们在人脸上任意画出两条相交曲线，交角为A, 这两条曲线被映到圆盘上两条平面曲线，它们之间的交角也是A。人脸上的相交曲线随意选取，它们的像之间的夹角不变。这正是“保角映射”名字的由来。
我们可以将所有带度量的曲面用保角映射分类。如果两张曲面之间存在保角同胚，则它们彼此共形等价。每一个等价类被称为一张黎曼曲面。
曲面单值化定理断言，对于所有可定向的闭曲面，每一共形等价类里面，必有唯一的度量曲面，其曲率为常数。换言之，所有欧拉数为正的闭曲面都可以保角地变成单位球面，例如下面小女孩的雕塑曲面为拓扑球面，可以共形地映射到单位球面上。
欧拉数为零的曲面(亏格为1的曲面)可以共形地变成一个“平环”，即带有欧几里得度量的轮胎曲面。平环的万有复叠空间可以等距的嵌入到欧氏平面上，形成欧氏平面的一个镶嵌模式。每一片“瓷砖”都可以严丝合缝地覆盖整张曲面，同一款式的“瓷砖”周期性重复，铺满整个平面。这正是埃舍尔的“欧氏天使和恶魔”的镶嵌画。
欧拉数为负的曲面(亏格大于1的曲面)可以共形地变形成曲率处处为-1的双曲曲面。沿着特定的曲线将曲面划开，等距地铺展到双曲圆盘上，得到一片“瓷砖”。通过拷贝和平移“瓷砖”，周期性地重复铺展的模式，我们可以铺满整个双曲平面。但是双曲的镶嵌模式远比欧氏的复杂和抽象，埃舍尔的双曲“天使和恶魔”明晰优美地展现了这种对称性。
埃舍尔的“天使和恶魔”给了我们一幅关于自然的图画，其简约优美令人震惊。很难想象，大千世界，纷繁杂乱的形状，最终被“统一”成三种标准形状!
那么，一个自然的问题就是：这一简约的图景在其他维数的流形上成立吗?
经历了长期的探索，瑟斯顿提出了宏伟的三维流形几何化猜想：所有的三维流形都可以以本质上唯一的方式分解为“素流形”;所有的素流形最终被八种几何所统一。这一猜测最近被哈密尔顿的里奇曲率流方法所证实。
黎曼面单值化定理在高维复流形上有着同样宏伟的推广。对于凯勒流形，这种统一的图景也是几何学家魂牵梦萦的目标。对于凯勒流形，欧拉数对应着第一陈省身类，常值高斯曲率度量对应着爱因斯坦度量(常里奇曲率度量)。卡拉比猜想凯勒流形存在爱因斯坦度量(常里奇曲率度量)，对于第一陈类非正的情形，这一猜测最终被丘成桐证明;第一陈类为正的情形，异常复杂而微妙;丘成桐提出猜想，认为可将第一陈类为正的高维空间上的“卡勒-爱因斯坦度量”的存在性问题转化为代数几何的稳定性问题。5月，纽约石溪的陈秀雄、唐纳森和孙崧给出了“丘成桐猜想”的完整证明。
卡拉比猜想的物理意义在于：存在这样一个宇宙，在那里质量为零，但是引力却不为零。这一令人匪夷所思的空间被称为卡拉比-丘空间。在现代的超弦理论中，我们生活的宇宙实际是十维的，在四维时空的每一点，都蜷缩着六维的纤维。而这纤维正是某种卡拉比-丘空间，这一纤维空间的拓扑决定了宇宙间所有的基本物理定律。
宇宙的琴弦在亘古洪荒中震颤，演奏着几何的乐章……
延伸阅读
①透彻领悟数学之美——当抽象的几何理论转化为算法程序
②烧脑的几何理论｜《三体》中的“降维攻击”到底啥意思？
投稿、提供新闻线索、转载授权请联系：iscientists@
商务合作事宜请联系：dll@
更多精彩文章：您可以通过回复"年份+月份"的形式接收精彩往期文章，比如回复"10"即可接收10月份的所有文章。您也可以返回主页点击屏幕下方子菜单获取最新文章、往期文章或直达赛先生微博。谢谢！
微信号：iscientists
