法国数学家笛卡尔说过:“我所解决的每一个问题,将成为一个模式,以用于解决其他问题”.几何是初中数学中非常重要的内容，尤其是近几年中考题更注重考察图形基本模型的拓展及应用，一般会在压轴题中出现，而掌握常见几何模型将有助于学生理清思路、节省大量时间。实践表明几何教学，对基础图形的把握，需源于教材，进而高于教材；在数学学习中，对图形的认知形成变式，并内化为一个知识系列，或图形专题，并能够运用于较为复杂图形中，识别并构造成所熟悉的基础图形，是学活几何的重要策略，这种能力的培养需要一个渐进的过程！
例1.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；
（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）
【分析】（1）由题意可知，△DEF和△DCF都是直角三角形，因为EG和CG分别是它们斜边上的中线，依据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一几何模型可知，EG＝1/2DF，CG＝1/2DF，所以EG＝CG；
（2）像这种有一定规律的题目，一般情况是结论不变．先猜想再证明即可；证明线段的相等，比较常见的方法是证明这两条线段所在的三角形全等，有时候还要添加辅助线构造三角形这一几何模型，本题也是，如下图添加辅助线，利用三角形全等证明即可．
（3）很明显本题体现了由特殊到一般的规律，既然不要求证明，答案一定是肯定的，否则本题就没有什么意义了．在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点．可以延长一倍EG到H，从而构造一个和△EFG全等的三角形，利用BE＝EF这一条件将全等过渡．要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了．
【解答】（1）由分析可知：EG＝CG；
（2）第（1）问中得到的结论没有发生变化，即EG＝CG；
证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于点M，与EF的延长线交于N点，则四边形AENM为矩形．
在△DAG与△DCG中，∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝CG，
∴△DAG≌△DCG（SAS）．∴AG＝CG．
在△DMG与△FNG中，∵∠MDG＝∠NFG，DG＝FG，∠DGM＝∠FGN，
∴△DMG≌△FNG（ASA）．∴MG＝NG．
∵四边形AENM为矩形，∴AM＝EN，∠AMG＝∠ENG＝90°．
在△AMG与△ENG中，∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，
∴△AMG≌△ENG（SAS）．∴AG＝EG．∴EG＝CG．
（3）如下图，（1）中的结论仍然成立．
例2．如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA^2＝PB^2+PC^2则称点P为△ABC关于点A的勾股点．
（1）如图2，在4×5的网格中，每个小正方形的长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点D是△ABC关于点_____的勾股点；在点E、F、G三点中只有点_____是△ABC关于点A的勾股点．
（2）如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，
①求证：CE＝CD；
②若DA＝DE，∠AEC＝120°，求∠ADE的度数．
（3）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，
①若△ADE是等腰三角形，求AE的长；
②直接写出AE+5/6BE的最小值．
②设∠CED＝α，根据∠AEC＝120°和CE＝CD即∠ADC＝90°，可用α表示△ADE的三个内角，利用三角形内角和180°为等量关系列方程，即求出α进而求出∠ADE．
（3）由条件“点C是△ABE关于点A的勾股点”仍可得CE＝CD＝5，作为条件使用．①△ADE是等腰三角形需分3种情况讨论，把每种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算，即能求AE的长．②在CB上截取CH＝25/6，利用两边对应成比例及夹角相等构造△ECH∽△BCE，把5/6BE转化为EH，所以当点A、E、H在同一直线上时，AE+5/6BE＝AH取得最小值，利用勾股定理求出AH即可．
本题考查勾股定理、勾股定理逆定理的应用，矩形的性质，等腰三角形的性质，解一元一次方程和一元二次方程，圆的定义和圆周角定理．解题关键是对新定义概念的性质运用，第（3）①题，借助“两圆一线”模型，对于等腰三角形的分类讨论需数形结合把图形画出后再解题，②借助胡不归几何模型，利用特殊位置试算得到最小值，计算过程较繁琐复杂．
②设∠CED＝α，则∠CDE＝∠CED＝α,∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝90°﹣α,
∵∠AEC＝120°,∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝120°﹣α.
∵DA＝DE,∴∠DAE＝∠DEA＝120°﹣α.
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°,∴2（120°﹣α）+（90°﹣α）＝180°,
解得：α＝50°,∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°.
（3）①∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6,∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝5.
∵点C是△ABE关于点A的勾股点,∴CE＝CD＝5.
i）如图1，若DE＝DA，则DE＝6,
过点E作MN⊥AB于点M，交DC于点N,∴∠AME＝∠MND＝90°,
∴四边形AMND是矩形,∴MN＝AD＝6，AM＝DN.
设AM＝DN＝x，则CN＝CD﹣DN＝5,
取AC中点O，则点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的⊙O上,
∴点E也在⊙O上,∴点E不在矩形ABCD内部，不符合题意.
启迪与反思：
许多中考试题都是以教材的例题、习题为背景，经过命题专家巧妙构思编拟而成，中考试题的权威性和导向性是由命题专家独具匠心精心打造的，其思路和方法常具有类比迁移和拓广探索性。在平时练习过程中，注意提炼基本图形，用基本几何模型解决问题，则能提高学习效率，提升创新创造能力。
1、加强教材例题习题的研究和开发
学会创造性使用教材，通过改编、演变、拓展等手段，充分挖掘开发例、习题所蕴含的丰富的教学价值，引导学生在探究过程学会设计中考题，掌握并迁移方法和技能，揭开中考题的神秘面纱，实现教材与中考的无缝对接。
2、加强几何基本图形建模的教学
几何与图形领域中存在着很多基本图形，每一个基本图形都可视为一个几何模型，它的性质、研究方法对其他较复杂几何图形性质的探究具有重要的导航作用。在具体的情境中加强对基本模型的研究，并让学生慧眼视图，从复杂图形中找出基本模型，利用模型解决相关问题，强化模型解题的思维方法，积累有效的数学活动经验。
3、强化探究意识提高推理能力
近几年的中考数学试卷，加大了对几何图形性质探究问题的考察力度，以检测学生的思维方式、思维水平。所以，在几何与图形的课堂习题教学中，要有意识、有目的引导学生大胆尝试联想，变化问题的条件和结论，将图形的结构重组与更新，探索条件（或图形）变化中不变的结论，或不变的条件而变化的结论，建立基本几何模型，打开思维的大门，提升学生的推理猜想能力、创新创造能力。
