因此欲证明不等式a1a2…an<2n!成立,只需要证明对一切非零自然数n,不等式(1﹣1/3)(1﹣1/32)(1﹣1/33)…(1﹣1/3n)>1/2恒成立即可,
显然左端每个因式都为正数,且因
1﹣(1/3+1/32+1/33+…+1/3n)
=1﹣1/3·(1﹣1/3n)/(1﹣1/3n)
=1﹣(1﹣1/3n)/2>1﹣1/2=1/2,
故只需要证明对非零自然数,不等式
(1﹣1/3)(1﹣1/32)(1﹣1/33)…(1﹣1/3n)≥1﹣(1/3+1/32+1/33+…+1/3n)
恒成立即可,
下面用数学归纳法证明该不等式成立,
①显然当n=1时,不等式1﹣1/3≥1﹣1/3成立,
②假设当n=k时不等式成立,
即(1﹣1/3)(1﹣1/32)(1﹣1/33)…(1﹣1/3k)≥1﹣(1/3+1/32+1/33+…+1/3k)成立,
那么当n=k+1时,
(1﹣1/3)(1﹣1/32)(1﹣1/33)…(1﹣1/3k)(1﹣1/3k+1)≥[1﹣(1/3+1/32+1/33+…+1/3k)](1﹣1/3k+1),
即不等式右边=
1﹣(1/3+1/32+1/33+…+1/3k)﹣1/3k+1+1/3k+1(1/3+1/32+1/33+…+1/3k),
注意到1/3k+1(1/3+1/32+1/33+…+1/3k)>0,
所以,
(1﹣1/3)(1﹣1/32)(1﹣1/33)…(1﹣1/3k)(1﹣1/3k+1)≥1﹣(1/3+1/32+1/33+…+1/3k+1/3k+1),
这说明当n=k+1时,不等式也成立,
由①②可知,不等式对一切非零自然数都成立,
考点分析:
数列与不等式的综合;数列的概念及简单表示法.
题干分析:
(Ⅰ)代值计算即可,
(Ⅱ)先利用分析法,要证明不等式成立,只需要证明等式(1﹣1/3)(1﹣1/32)(1﹣1/33)…(1﹣1/3n)≥1﹣(1/3+1/32+1/33+…+1/3n)恒成立即可,用数学归纳法证明即可.