#初中数学学习#
01
从一个题开始
关于切线长定理,在中考中是一个非常重要的考点,可谓各位出题英雄纷纷出马,一展自己的才华。
我们就从本卷的第1题开始我们今天的学习吧。以下文字内容,你可不关注,直接进入图片看题目和参考答案。因为推荐机制,所以这些文字是……
我们要解决这个问题,可以选连接OE,由AD,DC,BC都为圆的切线,根据切线的性质得到三个角为直角,且利用切线长定理得到DE=DA,CE=CB,由CD=DE+EC,等量代换可得出CD=AD+BC,选项②正确;由AD=ED,OD为公共边,利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等,可得出∠AOD=∠EOD,同理得到∠EOC=∠BOC,而这四个角之和为平角,可得出∠DOC为直角,选项⑤正确;由∠DOC与∠DEO都为直角,再由一对公共角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似,可得出三角形DEO与三角形DOC相似,由相似得比例可得出OD2=DECD,选项①正确;由△AOD∽△BOC,可得===,选项③正确;由△ODE∽△OEC,可得,选项④正确.
解答:连接OE,如图所示:
∵AD与圆O相切,DC与圆O相切,BC与圆O相切,
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°,
∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC,
∴CD=DE+EC=AD+BC,选项②正确;
∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL),
∴∠AOD=∠EOD,
同理Rt△CEO≌Rt△CBO,
∴∠EOC=∠BOC,
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°,
∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,即∠DOC=90°,选项⑤正确;
∴∠DOC=∠DEO=90°,又∠EDO=∠ODC,
∴△EDO∽△ODC,
∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°,
∠A=∠B=90°,
∴△AOD∽△BOC,
同理△ODE∽△OEC,
故选D.
这一道题给我们的启示:一方面是对切线长定理的考查将会是综合进行的:此题考查了切线的性质,切线长定理,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质等。另一方面,要学会利用了转化的数学思想,熟练使用定理及性质来解决相关的问题,是解决与切线有关的问题的关键.
02
阅读说明
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03
中考真题精选
04
参考答案
05
经典题目解析
一、选择题
2. 分析根据四边形的内角和,可得∠BOA,根据等弧所对的圆周角相等,根据圆周角定理,可得答案.
3. 答案D。逐步提示过点P作PC⊥AB于点C,过点P作PD⊥x轴于点D,则BC=AC,OC=PD=PB,可求得BC、AC、OC、PD、PB长.在Rt△PBC中,由勾股定理可求得PC的长,根据PC、PD的长即可写出点P的坐标.解后反思圆中有关弦长的计算,通常是根据垂径定理,在半径、圆心距和弦的一半线段长所组成的直角三角形中,利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.当圆中出现切线时,常作的辅助线是连接切点与圆心,得到垂直于切线的半径.本题中,利用垂径定理求出OC的长是解题的关键.关键词圆的切线的性质、垂径定理
4. 分析根据切线的性质得到∠ABC=90°,根据直角三角形的性质求出∠A,根据圆周角定理计算即可.
5. 分析设三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,由切线长定理得出AB=AC=3、∠OAB=60°,根据OB=ABtan∠OAB可得答案.
6. 分析直接利用切线的性质得出∠OAP=90°,再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°,结合圆周角定理得出答案.
7. 分析根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角,即连接OA,OB,求得∠AOB=110°,再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解.点评本题考查了多边形的内角和定理,切线的性质,圆周角定理的应用,关键是求出∠AOB的度数.
8. 分析先利用切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°,再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数,然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数.点评本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.
9. 分析先根据切线长定理得到PA=PB,∠APD=∠BPD;再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB,根据菱形的性质,只有当AD∥PB,BD∥PA时,AB平分PD,由此可判断D不一定成立.点评本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质.
10. 分析连接OA、OB、OP,根据切线的性质得出OA⊥PA,OB⊥PB,然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP,即可求得PB=PA=3.点评本题考查了切线长定理,三角形全等的判定和性质,作出辅助线根据全等三角形是解题的关键.
二、填空题
14. 考点相似三角形的判定与性质;切线的性质.分析如图2中,过点P作⊙O的切线PT,切点是T,根据PT2=PAPB=PCPD,求出PD即可解决问题.
15. 分析首先连接OB,由点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,根据等角的余角相等,易证得∠CBP=∠CPB,利用等腰三角形的性质解答即可.
16. 分析由切线的性质得出PA=PB,PA⊥OA,得出∠PAB=∠PBA,∠OAP=90°,由已知得出∠PBA=∠PAB=90°﹣∠OAB=52°,再由三角形内角和定理即可得出结果.点评本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理;利用切线的性质来解答问题时,解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题.
17. 分析连接OE,OF,由切线的性质可得OE⊥AB,OF⊥AC,由四边形内角和定理可求∠EOF=114°,即可求∠EPF的度数.点评本题考查了切线的性质,圆周角定理,四边形内角和定理,熟练运用切线的性质是本题的关键.
三、解答题
18. 考点相似三角形的判定与性质;垂径定理;切线的性质.分析(1)由平行线的性质得出EF⊥AD,由线段垂直平分线的性质得出FA=FD,由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D,证出∠DCB=∠G,由对顶角相等得出∠GCF=∠G,即可得出结论;(2)连接AC,由圆周角定理证出AC是⊙O的直径,由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB,证出∠CAB=∠G,再由∠CBA=∠GBA=90°,证明△ABC∽△GBA,得出对应边成比例,即可得出结论.
19. 分析(1)连接OC,由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC,据此知OC∥AD,根据AD⊥DC即可得证;(2)连接BC,证△DAC∽△CAB即可得.
20. 考点切线的判定.分析(1)如图,连接OD.通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°,易证得结论;(2)利用圆周角定理和垂径定理推知OE∥BC,所以根据平行线分线段成比例求得BC的长度即可. 点评本题考查了切线的判定与性质.解答(2)题时,也可以根据三角形中位线定理来求线段BC的长度.
21. 考点ME:切线的判定与性质;T7:解直角三角形.分析(1)由直径所对的圆周角是直角得:∠ADB=90°,则∠ADC+∠CDB=90°,所以∠EAC+∠BAC=90°,则直线AE是⊙O的切线;
22. 考点MC:切线的性质;KQ:勾股定理;M2:垂径定理.分析(1)利用切线长定理得到OC平分∠BCE,即∠ECO=∠BCO,利用切线的性质得OB⊥BC,则∠BCO+∠COB=90°,由于∠FEB+∠FOE=90°,∠COB=∠FOE,所以∠FEB=∠ECF.
23. 考点ME:切线的判定与性质;MO:扇形面积的计算.分析(1)连接OC,如图,利用切线的性质得∠OCE=90°,再根据垂径定理得到CD=BD,则OD垂中平分BC,所以EC=EB,接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°,然后根据切线的判定定理得到结论;然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式,利用阴影部分的面积=2S△OBE﹣S扇形BOC进行计算即可.
24. 分析(1)先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP,得出∠DOP=∠COP,即可得出结论;(2)先 求出∠COD=60°,得出△OCD是等边三角形,最后用锐角三角函数即可得出结论.
25. 分析(1)欲证明AC是切线,只要证明AB⊥AC即可;(2)设EC=EB=x,在Rt△AEC中,利用勾股定理构建方程即可解决问题;
26. 分析欲证明CD是切线,只要证明OD⊥CD,利用全等三角形的性质即可证明;
27. 分析(Ⅰ)根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC和∠ABD的大小;
(Ⅱ)根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD的大小.
28. 分析(1)连接半径OC,根据切线的性质得:OC⊥PC,由圆周角定理得:∠ACB=90°,所以∠PCA=∠OCB,再由同圆的半径相等可得:∠OCB=∠ABC,从而得结论;(2)本题介绍两种解法:方法二:根据平行线的性质得:OC⊥AE,∠P=∠EAO,由垂直的定义得:∠OCD=∠EAO=∠P,同理利用三角函数求得:CH=8,并设AO=5x,AH=4x,表示OH=3x,OC=3x﹣8,由OC=OA列式可得x的值,最后同理得结论.
29. 分析(1)由切线的性质得出PA=PB,∠PAC=90°,证出△APB是等边三角形,得出∠BAP=60°,即可得出答案;点评此题考查了切线的性质、垂径定理、切线长定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点;熟练掌握切线的性质和垂径定理是解题的关键.
30. 分析(Ⅰ)连接OA、OB,根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°,根据四边形内角和等于360°计算;(Ⅱ)连接CE,根据圆周角定理得到∠ACE=90°,根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可.点评本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.