#初中数学学习#
01
从一个题开始
关于切线长定理，在中考中是一个非常重要的考点，可谓各位出题英雄纷纷出马，一展自己的才华。
我们就从本卷的第1题开始我们今天的学习吧。以下文字内容，你可不关注，直接进入图片看题目和参考答案。因为推荐机制，所以这些文字是……
我们要解决这个问题，可以选连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DECD，选项①正确；由△AOD∽△BOC，可得===，选项③正确；由△ODE∽△OEC，可得，选项④正确．
解答：连接OE，如图所示：
∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，
∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC=∠BOC，
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；
∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，
∴△EDO∽△ODC，
∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°，
∠A=∠B=90°，
∴△AOD∽△BOC，
同理△ODE∽△OEC，
故选D．
这一道题给我们的启示：一方面是对切线长定理的考查将会是综合进行的：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等。另一方面，要学会利用了转化的数学思想，熟练使用定理及性质来解决相关的问题，是解决与切线有关的问题的关键．
02
阅读说明
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03
中考真题精选
04
参考答案
05
经典题目解析
一、选择题
2. 分析根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．
3. 答案D。逐步提示过点P作PC⊥AB于点C，过点P作PD⊥x轴于点D，则BC＝AC,OC＝PD＝PB，可求得BC、AC、OC、PD、PB长.在Rt△PBC中，由勾股定理可求得PC的长，根据PC、PD的长即可写出点P的坐标.解后反思圆中有关弦长的计算，通常是根据垂径定理，在半径、圆心距和弦的一半线段长所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知线段的长．当圆中出现切线时，常作的辅助线是连接切点与圆心，得到垂直于切线的半径．本题中，利用垂径定理求出OC的长是解题的关键.关键词圆的切线的性质、垂径定理
4. 分析根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
5. 分析设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB=AC=3、∠OAB=60°，根据OB=ABtan∠OAB可得答案．
6. 分析直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°，结合圆周角定理得出答案．
7. 分析根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．点评本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
8. 分析先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．点评本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
9. 分析先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．点评本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质．
10. 分析连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB＝PA＝3．点评本题考查了切线长定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．
二、填空题
14. 考点相似三角形的判定与性质；切线的性质．分析如图2中，过点P作⊙O的切线PT，切点是T，根据PT2=PAPB=PCPD，求出PD即可解决问题．
15. 分析首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．
16. 分析由切线的性质得出PA＝PB，PA⊥OA，得出∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，由已知得出∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝52°，再由三角形内角和定理即可得出结果．点评本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；利用切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题．
17. 分析连接OE，OF，由切线的性质可得OE⊥AB，OF⊥AC，由四边形内角和定理可求∠EOF＝114°，即可求∠EPF的度数．点评本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的性质是本题的关键．
三、解答题
18. 考点相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质．分析（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．
19. 分析（1）连接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知OC∥AD，根据AD⊥DC即可得证；（2）连接BC，证△DAC∽△CAB即可得．
20. 考点切线的判定．分析（1）如图，连接OD．通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易证得结论；（2）利用圆周角定理和垂径定理推知OE∥BC，所以根据平行线分线段成比例求得BC的长度即可． 点评本题考查了切线的判定与性质．解答（2）题时，也可以根据三角形中位线定理来求线段BC的长度．
21. 考点ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．分析（1）由直径所对的圆周角是直角得：∠ADB=90°，则∠ADC+∠CDB=90°，所以∠EAC+∠BAC=90°，则直线AE是⊙O的切线；
22. 考点MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．分析（1）利用切线长定理得到OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，利用切线的性质得OB⊥BC，则∠BCO+∠COB=90°，由于∠FEB+∠FOE=90°，∠COB=∠FOE，所以∠FEB=∠ECF.
23. 考点ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．分析（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCE=90°，再根据垂径定理得到CD=BD，则OD垂中平分BC，所以EC=EB，接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△OBE﹣S扇形BOC进行计算即可．
24. 分析（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出结论；（2）先 求出∠COD=60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．
25. 分析（1）欲证明AC是切线，只要证明AB⊥AC即可；（2）设EC=EB=x，在Rt△AEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
26. 分析欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
27. 分析（Ⅰ）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC和∠ABD的大小；
（Ⅱ）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD的大小．
28. 分析（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论；（2）本题介绍两种解法：方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P=∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD=∠EAO=∠P，同理利用三角函数求得：CH=8，并设AO=5x，AH=4x，表示OH=3x，OC=3x﹣8，由OC=OA列式可得x的值，最后同理得结论．
29. 分析（1）由切线的性质得出PA＝PB，∠PAC＝90°，证出△APB是等边三角形，得出∠BAP＝60°，即可得出答案；点评此题考查了切线的性质、垂径定理、切线长定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点；熟练掌握切线的性质和垂径定理是解题的关键．
30. 分析（Ⅰ）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于360°计算；（Ⅱ）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．点评本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
