【题目呈现】
/,某水果商店购进一种水果,其进货成本是每吨0.4万元,根据市场调查,这种水果在市场上的销量y(吨)与每吨的销售价x(万元)之间的函数关系如下图.
(1)求销售量y与每吨售价x之间的函数关系式;
(2)如果销售利润为w万元,请写出w与x之间的函数关系式;
(3)当每吨销售价为多少万元时,销售利润最大?最大利润是多少?
【分析】
(1)由图象可设y=Kx+b,将(0.6,2),(1,1.6)代入解出K,b,进而得出关系式.
(2)由w=y(x一0.4)=(Kx+b)(x一0.4),整理可得w与x的函数关系式.
(3)由w与x的函数关系式求出最值.
【答案解析】
解:(1)设销售量y与每吨售价x的函数关系式为y=Kx+b(K≠0),
∴y与x的函数关系式为y=一x十2.6.
(2)w=y(X一0.4)=(一x十2.6)(X一0.4)
即W=一x²+3x一1.04.
(3)由w=一x²+3x一1.04
配方得w=一(x一1.5)²十1.21
∴当x=1.5时,w最大=1.21.
∴每吨销售价为1.5万元时,销售利润最大,最大利润是1.21万元.
2.九年级(3)班数学兴趣小组经过市场凋查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90,且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件,设该商品的售价为y(元/件),每天的销售量为P(件),每天的销售利润为w(元,
(1)求出w与X之间的函数关系式;
(2)问:销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?并求出最大利润;
(3)该商品在销售过程中,共有多少天的销售利润不好低于5600元?
【分析】
根据每天的销售利润w=每天的销售量P×(单件的售价y一单件的成本)
(1)从表中看P与x成一次函数关系,易求出,而每天的售价y元/件分两种情况,①在1到50天成一次函数变化;②在51到90天不变。所以w与x的关系也有两种,也就是分段函数关系。
(2)由于w与x是分段函数关系,所以哪一天销售利润最大且为多少也要两种情况比较之后确定。
(3)依据销售利润不低于5600元,分两种情况算出总天数。
【答案解析】
解:(1)当1≤x≤50时,设商品的售价y(元/件)与时间x(天)之间的函数关系式为y=Kx十b(K、b为常数且K≠0),∵直线y=Kx十b过点(0,40),(50,90),
∴当1≤x≤50时,y=x十40.
当50<x≤90时,y=90.∴当售价y(元/件)与时间x(天)之间的函数关系式为y
由表中数据可知每天的销售量P与时间x成一次函数关系,设每天的销售量与时间x之间的函数关系式为P=mx+n(m、n为常数,且m≠0),将(60,80),(30,140)代入,
∴P=一2x+200(0≤x≤90,且X为整数,
当1≤x≤50时,w=(x+40一30)(一2x十200)=一2X²+180x十2000;
当50<x≤90时,w=(90一30)(一2x十200)=一120x+12000;
综上,每天的销售利润w与时间x之间的函数关系式是w
(2)当1≤x≤50时,w=一2x²+180x十2000=一(x一45)²+6050,∵a=一2<0且1≤x≤50,∴当x=45时,w取得最大值,最大值为6050.
当50<x≤90时,W=一120x+12000,∵K=一120<0,w随x的增大而减小,∴当x=50时,W取最大值,最大值为6000.∵6050>6000,∴当x=45时,w最大,最大值为6050.即销售第45天时,W最大,最大值为6050.
(3)当1≤x≤50时,令W=一2x²+180x十2000≥5600,解得30≤x≤50,50一30+1=21(天),当50<x≤90时,令w=一120x十12000≥5600,解得50<x≤160/3,∵x为整数,∴50<x≤53,53一50=3(天),21十3=24(天),综上可知,该商品在销售过程中,共有24天每天的销售利润不低于5600元.
3.某商场经营某种品牌的玩具,购进时单价是30元,市场调查发现,在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每上涨1元,就会少售出10件玩具.
(1)不妨设这种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),请你分别用含x的代数式来表示销售量y(件)和销售该品牌玩具所获得的利润w(元,,并把结果填写在表格中:
(2)在(1)的条件下,若商场获得了10000元的销售利润,则该玩具的销售单价应定为多少元?
(3)在(1)的条件下,若玩具厂规定这种品牌玩具的销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,求商场销售这种品牌玩具获得的最大利润.
【分析】
(1)依据销售利润=销售量×单件利润.∵单价每上涨1元,就会在销售量是600件的基础上少售出10件,现在销售单价为x元(x>40),∴销售单价上涨(x一40)元,少售10(x一40)件∴销售量y=600一10(x一40)=1000一10x,而单件利润为(x一30)元,∴销售所获利润w=(x一30)(1000一10x)=一10x²+1300x一30000.
(2)解(1)中的w=10000即可.
(3)在要求的条件下,找出x的范围,再对应w关于x的二次函数解出最大利润.
【答案解析】
(1)
(2)由题意得,一10x²十1300x一30000=10000,解得x=50或x=80,故当玩具销售单价定为50元或80元时,可获得10000元的销售利润.
(3)根据题意可得1000一10x≥540且x≥44,解得44≤x≤46,W=一1x²十1300x一30000=一10(x一65)²+12250,当44≤x≤46时,w随x的增大而增大,∴当x=46时,w取得最大值,最大值为8640元,故商场销售这种品牌玩具获得的最大利润为8640元.
【反思】
一般利润问题,都是这种题型,取最值时特别要注意自变量的取值范围,根据范围结合二次函数图象,才能准确取得最值。