大家好，今天给大家重点讲解一下中考常考知识点：垂径定理及其所延伸的考题。首先我们来了解一下，垂径定理及其推论：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其他三个：
1、垂直于弦；
2、过圆心；
3、平分弦；
4、平分弦所对的优弧；
5、平分弦所对的劣弧。
当以1、3为题设时，“弦”不能是直径。
例题：
已知：如下图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径。
1）求证：AE与⊙O相切；
2）当BC＝4，cosC＝1/3时，求⊙O的半径。
（1）证明：连结OM，则OM＝OB
∴∠1＝∠2
∵BM平分∠ABC
∴∠1＝∠3
∴∠2＝∠3
∴OM∥BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°，∴∠AMO＝90°
∴OM⊥AE
∴AE与⊙O相切（如下图）。
(2)解：在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，
∴BE＝1/2BC，∠ABC=∠C.
∵BC=4，cosC=1/3,
∴BE＝2，cos∠ABC＝1/3
在△ABC中，∠AEB＝90°
∴AB＝BE/cos∠ABC＝6
设⊙O的半径为r，则AO＝6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴OM/BE=AO/AB
∴r/2=(6-r)/6
解得r=3/2
∴⊙O的半径为3/2
同学们，你们学会了吗？
