要想学好数学，就必须提高应用数学知识解决问题的能力，学会把具体的数学知识转化为自身的能力，提高分析问题和解决问题的能力。
我们经常说数学思想方法是数学的灵魂，是数学知识的精髓，只有不断消化和理解数学思想方法，提高应用数学思想方法的能力，才能从真正意义上提高数学应用能力。
在中学数学学习阶段，我们所涉及到的思想方法很多，如有化归思想方法、分类讨论思想方法、数形结合思想方法、数学建模思想方法等，这些数学思想方法应用广泛，都是中高考重点考查对象。
为了能更好帮助大家加深对数学思想方法的理解，今天我们就一起来讲讲数形结合思想。
什么是数形结合思想呢？
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想。
数形结合思想，典型例题分析1：
如图，抛物线y=x2﹣4x﹣1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；
（2）经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x2﹣4x﹣1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作⊙P，过点D作⊙P的切线，切点为E，求点DE的长；
（3）上下平移（2）中的直线MN，以MN为直径的⊙P能否与x轴相切？如果能够，求出⊙P的半径；如果不能，请说明理由．
考点分析：
二次函数综合题；代数几何综合题；压轴题；数形结合。
题干分析：
（1）利用配方法即可将函数解析式变形为：y=（x﹣2）2﹣5，由顶点式即可求得这条抛物线的顶点D的坐标；
（2）由经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x2﹣4x﹣1相交于M、N两点（M在N的左侧），即可求得M与N的坐标，即可求得P的坐标，然后即可求得PE与PD的长，根据切线的性质，由勾股定理即可求得DE的长；
（3）根据已知，可得点P的横坐标为2，又由以MN为直径的⊙P与x轴相切，可得抛物线过点（2+r，r）或（2+r，﹣r），将点的坐标代入解析式即可求得r的值，则可证得以MN为直径的⊙P能与x轴相切。
解题反思：
此题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，还考查了圆的切线的性质等知识，是二次函数的综合题型．此题综合性很强，注意数形结合与方程思想的应用。
从典型例题的分析，我们可以看到数形结合思想能使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
数形结合思想是数学中重要的思想方法。它根据数学问题中条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。
数形结合思想，典型例题分析2：
已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考点分析：
二次函数综合题．
题干分析：
（1）抛物线y=﹣ax2+2ax+b的对称轴，可以根据公式直接求出，抛物线与x轴的另一交点与A关于对称轴对称，因而交点就可以求出；
（2）AB的长度可以求出，连接PC，在直角三角形OCP中，根据勾股定理就可以求出C点的坐标，把这点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出解析式；
（3）本题应分AC或BC为对角线和以AB为对角线三种情况进行讨论，当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．就可以求出点M的坐标。当以AB为对角线时，点M在x轴下方易证△AOC≌△BNM，可以求出点M的坐标。
解题反思：
大家一定要清楚认识到数形结合思想包含“以形助数”和“以数助形”两个方面。即用数形结合思想解题可分两类：一是依形判数，用形解决数的问题，常见于借用数轴、函数图象、几何图形来求解代数问题；二是就数论形，用数解决形的问题，常见于运用恒等变形、建立方程(组)、面积转换等求解几何问题。
几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。
