前一段时间,我写了一篇关于“0.999……=1”的文章,有读者给了我一个看似简单,实际错误的证明:
设x=0.999……,可以得到10x=9.999……,两式相减,得到9x=9,所以x=1,证明完毕。
这个证明相信很多人都看到过,为什么说这个证明是错误的?这个证明用了一个假设:无限+1=无限。如果9.999……的小数点后面有N个9,那么0.999……的小数点后面就有N+1个9,两式相减,相差一个9无法抵消。抵消了就表示N个9和N+1个9是一样的,也就是无限+1=无限。
如果无限+1=无限,0.999……=1就是理所当然的。因为0.999……=999……/1000……,右边的分子是无穷大,也就是无限。因为无限+1=无限,所以999……=999……+1=10000……。可以得到0.999……=999……/1000……=1。
使用和结论等价的假设,在数学上叫做循环证明。无限+1=无限,看似简单,实际上大多数人都无法严格的证明。无限和有限是两个不同的概念,简单的无限也可以让我们大跌眼镜。在很多人看来无限+无限=无限,实际上是错的,无限+无限不等于无限!
无限+1=无限,因为无限+1也是无限,所以无限+1=(无限+1)+1=无限+2。依次类推,无限=无限+任意数。不可以无限推论下去,得到无限+无限=无限。111……加上任意数都等于111……,但是111……+333……=444……,因为333……不是任意数,它是无限。
你以为这样就完了吗?还没完呢。111……+333……不仅可以等于444……,还可以等于144……、1144……,或者333444……。因为无限=无限+任意数,两个数的位数都是无限,它们的位数就可以相差任意数,相加的时候,可以是任意一位对齐。除非已经有了逻辑上的对应关系,才能知道要从哪一位开始对齐,比如10x=9.999……,它和x=0.999……中就有逻辑上对应关系。
要怎么证明以上结论?因为111……/(111……+任意数)=1,而111……/144……或者111……/114……都不等于1,所以333……不属于“任意数”,不论它的位数和111……的位数相差多少,333……都表示无限,不需要和111……的位数相同。
如此任性,不按常理出牌的“无限”,是不是很神奇?我很想知道圆周率π在无限位数之后,数字的排列顺序是谁安排的,上帝也得累死吧?
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