本文为昊南老师整理的二次函数综合题，供大家练习使用。
1．抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P是抛物线在第四象限内的一点．
（1）求抛物线解析式；
（2）点D是线段OC的中点，OP⊥AD，点E是射线OP上一点，OE＝AD，求DE的长；
（3）连接CP，AP，是否存在点P，使得OP平分四边形ABCP的面积？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
2．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝﹣2．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S的最大值；
（3）若点M在抛物线的对称轴上，P是平面坐标系上一点，在抛物线上是否存在一点N，使以P，C，M，N为顶点的四边形是正方形？如果存在，请写出满足条件的点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若A（﹣1，0），且OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC，CM，MB，是否存在点M，使四边形MBAC的面积为9，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方，将A点绕O顺时针旋转90°得M，若∠NBD＝∠MBO，试求E的的坐标．
4．已知：直线y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c过A、C两点，
（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA，PC，试问△PAC的面积是否存在最大值，若存在，请求出△APC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．
5．二次函数y＝a（x2+2mx﹣3m2）（其中a，m是常数a＜0，m＞0）的图象与x轴分别交于A、B（点A位于点B的右侧），与y轴交于点C（0，3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连结AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
（1）求a与m的关系式；
（2）求证：为定值；
（3）设该二次函数的图象的顶点为F．探索：在x轴的正半轴上是否存在点G，连结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
6．已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形．
（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；
（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．
7．已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）该二次函数图象上有一点P（x，y）使得S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；
（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，求2AF+DF的最小值．
8．二次函数y1＝ax2+bx﹣5与x轴交于A、D两点，D（5，0），与直线y2＝2x﹣5交于B、E两点，点B在y轴上，E（6，n）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上有一点P，若△APE的面积为28，求点P的横坐标；
（3）点F在第四象限的抛物线上运动，连接AF，与直线BE交于点Q，连接BF，AB．设△ABQ的面积为S1，△FBQ的面积为S2，求的最大值．
9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣1与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧）与y轴交于点C．
（Ⅰ）当点（1，﹣）在二次函数y＝ax2﹣3ax﹣1上时．
（i）求二次函数解析式；
（ii）P为第四象限内的抛物线上的一动点，连接PA、PC．若△PAC的面积最大时，求点P的坐标；
（Ⅱ）点M、N的坐标分别为（1，2），（4，2），连接MN，直接写出线段MN与二次函数y＝ax2﹣3ax﹣1的图象只有一个交点时a的取值范围．
10．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，该抛物线的对称轴为x＝．
（1）求a，b的值；
（2）若点P在抛物线上，且在x轴的下方，作射线BP，当∠PBA＝∠ACO时，求点P的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在对称轴上，是否存在点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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