五年级小数乘除法简便计算知识点复习，除法的性质
用简便方法计算下列各题：
42.8÷0.4÷2.5 除法的性质：a÷b÷c=a÷（b×c）
=42.8÷（0.4×2.5）
=42.8÷1
=42.8
2.1÷0.6÷7 在连除中,任意交换除数的位置,(商)不变
=2.1÷7÷0.6
=0.3÷0.6
=0.5
5.6÷（4×0.7） a÷（b×c）=a÷b÷c=a÷c÷b
=5.6÷4÷0.7
=5.6÷0.7÷4
=8÷4
=2
4.2÷3.5
=4.2÷（0.7×5）
=4.2÷0.7÷5
=6÷5
=1.2
有点难度啊！已知a，b，c满足a+b+c=0，a²+b²+c²=4，求a^4+b^4+c^4
本文给出十种方法，不同的实战技巧，解题思路新颖，更能触类旁通，举一反三。
直接求解法
降幂等式法
参数法
待定系数法
竖式除法
设元法
公式法
常数替换法
倒数法
凑系数法
网页链接网页链接 - 代数式求值方法和实例讲解，十种方法，经典母题，实战技巧 - ... - 今日头条
前段时间每天中午吃饭前做一面口算，
小数乘除法，坚持三个月久，确实有进步，
但是还是很难做到全对，
最近调整策略，专门针对做分数，
分数乘除法略➕点巧算
我自己找题，对于某类不会的反复计算
我想既达到训练计算的能力，
同时能灵活运用小技巧计算
小学是乘法分配率a*b+a*c=a*（b+c）
就是初中提取公因式，
所以我就会多加一项，要他练习，
慢慢渗透知识点
证明组合数是整数
#科学# #数学#
从n个不同对象中取出m（0≤m≤n)个排成一列，称为一个排列 ①，全部可能的排列个数称为排列数，记为P(n,m)。排列由m个对象组成，
● 取第1个对象时，可从n个对象中选择，因此有n种选择的可能，随便选走1个对象后，还剩n-1个；
● 取第2个对象时，只能从还剩n-1个中选择，因此有n-1种选择，又随便选走1个后，还剩n-2个；
...
● 取第m个对象时,只能从还剩n-m+1个中选择，有n-1种选择，随便选走1个后，还剩n-m个；
于是，根据乘法原理，排列数就是，
P(n,m) = n(n-1)⋯(n-m+1) = n(n-1)⋯(n-m+1)(n-m)⋯1/(n-m)⋯1 = n!/(n-m)!
当 n=m 时 有，
P(n, n) = n!/(n-n)! = n!
称为全排列，也就是 n个对象 排成一列 的全部可能的个数。
如果①处，取出m个对象不计顺序，则称为一个组合，全部可能的组合个数称为组合数，记为C(n,m)。显然，
C(n,m) = P(n,m)/P(m,m) = n!/m!(n-m)! ②
从排列数的定义看，排列数当然是整数，难道不成，选择对象的操作 可以有半个？! 但是，硬要通过 排列公式② 证明也不是不行。下面小石头给大家介绍一种方法。
首先，我们需要证明，
□ 勒让德（Legendre）定理：对n!进行素因子分解，得到，
n!=p₁ˢ¹p₂ˢ²⋯pᵤˢᵘ
对其中任意素因子 p=pᵢ，令 Lp(n!)=sᵢ，则有，
Lp(n!) = ∑ᵢ₌₁ᵒᵒ [n/pⁱ]
> 注：其中 [a] 表示取 a 的整数部分。
证明：
由于 n!=2⋅3⋅⋯⋅n ，故，
Lp(n!) = Lp(2) + Lp(3) + ⋯ + Lp(n)
将 Lp(2),Lp(3),...,Lp(n) 由小到大排列，并分组，
● 设 Lp(x)=1 的有 k₁ 个；
● 设 Lp(x)=2 的有 k₂ 个；
● 设 Lp(x)=3 的有 k₃ 个；
...
于是，
Lp(n!) = 1k₁ + 2k₂ + 3k₃ + ⋯ = (k₁ + k₂ + k₃ + ⋯) + (k₂ + k₃ + ⋯) + (k₃ + ⋯) + ⋯
进而，令，
K₁ = k₁ + k₂ + k₃ + ⋯
K₂ = k₂ + k₃ + ⋯
K₃ = k₃ + ⋯
...
则，
Lp(n!) = K₁ + K₂ + K₃ + ⋯ = ∑ᵢ₌₁ᵒᵒ Kᵢ ③
对于其中，
Kᵢ = kᵢ + kᵢ₊₁ + ⋯
是 2,3,...,n 这些数中 能被 pⁱ 整除的个数，这些数，
pⁱ,2pⁱ,...,Kᵢpⁱ < n
并且 n <(Kᵢ+1)pⁱ 故 有带余除法，
n = Kᵢpⁱ + r, 0=< r < pⁱ
因此，
Kᵢ = [n/pⁱ]
带入③定理得证！
▌
然后，我们就可以证明
□ 组合数是整数
了！
证明：
设 p 是 m!(n-m)! 的任意素因子，由于，m,(n-m)≤n,故 p 也是 n! 的素因子。
而 根据 勒让德定理 有，
Lp(m!(n-m)!) = Lp(m!)+Lp((n-m)!)=∑ᵢ₌₁ᵒᵒ [m/pⁱ] + ∑ᵢ₌₁ᵒᵒ [(n-m)/pⁱ] = ∑ᵢ₌₁ᵒᵒ [m/pⁱ] + ∑ᵢ₌₁ᵒᵒ [n/pⁱ-m/pⁱ]
其中，
● 当 n mod p ≥ m mod p 时，有 [n/pⁱ-m/pⁱ] = [n/pⁱ]-[m/pⁱ]；
● 当 n mod p ≤ m mod p 时，有 [n/pⁱ-m/pⁱ] = [n/pⁱ]-[m/pⁱ] - 1；
>注： n mod p 表示 n 除以 p 的余数。
故，
Lp(m!(n-m)!) ≤ ∑ᵢ₌₁ᵒᵒ [m/pⁱ] + ∑ᵢ₌₁ᵒᵒ ([n/pⁱ]-[m/pⁱ]) = ∑ᵢ₌₁ᵒᵒ [m/pⁱ] + ∑ᵢ₌₁ᵒᵒ [n/pⁱ] - ∑ᵢ₌₁ᵒᵒ [m/pⁱ] = ∑ᵢ₌₁ᵒᵒ [n/pⁱ] = Lp(n!)
这说明：对于②的分母的素因子分解，
m!(n-m)!=p₁ˢ¹p₂ˢ²⋯pᵤˢᵘ
中的任意pˢ，②的分子n!中都含有因子pᵗ，t≥s，足够将pˢ消去，故最终整个分母 都会被 分子消去，于是 ② 是整数。
▌
用类似的方法，也可以证明，
□ 排列数是整数
大家不妨自己试一试。
另外，当 n 是素数，m≠0,n 时，由于 m,(m-n) < n 故 n 不是 m!(m-n)! 的因子，于是 n 一定是 C(n,m) 的因子，即有，
□ n是素数 ∧ m≠0,n ⇒ n|C(n,m)
───
（好了，关于这个话题，小石头就和大家聊到这里。证明组合数是整数，大家还有什么方法呢？欢迎评论区留言！）
#故事推荐#最近，五年级正在学习因数与倍数知识，许多同学反映分解质因数对于他们来说有点难，能不能给他们总结归纳一些方法，让他们高效率做出题目，今天老师就给大家总结一些方法，希望同学们能快速掌握。
一、知识铺垫
1、因数和倍数：在整数乘法里，如果a×b＝c，那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
2、 为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）。但是0也是整数。
3、一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。一个数的因数的个数是有限的。
4、一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数的倍数的个数是无限的。
如果两个整数（a、b）都是另一个整数（c）的倍数，那么这两个整数的和（a+b）也是另一个整数（c）的倍数。
5、 个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
个位上是0、5的数都是5的倍数。
个位上是0数既是2的倍数，也是5的倍数。
一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
6、自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
7、 最小的奇数是1，最小的偶数是0。最小的质数是2，最小的合数是4。
8、 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
9、1既不是质数，也不是合数。
10、 自然数按照因数的个数多少，可以分为1、质数、合数；按是否是2的倍数，可以分为奇数、偶数。
11、100以内的质数表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
12、每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数就都叫做这个合数的质因数。
如果一个质数是某个数的因数,那么就说这个质数是这个数的质因数.而这个因数一定是一个质数。
13、质因数就是一个数的约数，并且是质数，比如8=2×2×2，2就是8的质因数。12＝2×2×3，2和3就是12的质因数。把一个式子以12＝2×2×3的形式表示,叫做分解质因数。16=2×2×2×2，2就是16的质因数，把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，叫做分解质因数。
二、方法总结
1、一般方法
把24写成比它本身小的几个自然数相乘的形式
练习：能否把下面的合数写成几个质数相乘的形式？
总结：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。（质因数既是因数，又是质数。）
2、树枝法
6、28、60可以写成哪几个质数相乘的形式？
总结：树枝法就是把大数分解成小数，一步一步直到不能分解为止。
练习：把24分解质因数。
3、用短除法分解质因数
6、28、60可以写成哪几个质数相乘的形式？
总结：短除法是分解质因数的重要方法，把一个数进行短除可以分解成若干个质数相乘，分解质因数要从最小的质数2开始除，直到没有因数2再除以下一个质数3……直至除得的商也是质数为止。
练习：把 18、50、333分解质因数
*************
把一个 合 数分解质因数，先用一个能整除这个合数的 质 数去除（一般从最小的开始），如果得出的商是质数，就把 除数 和 商 写成相乘的形式；如果得出的商是合数，就继续除下去，直到得出的商是 质数 数为止。然后把各个 除数 . 和最后的 商 写成连乘的形式。
*************
分解质因数，一定要注意以下几点：
（1）利用乘法口诀
（2）抓住数的特点
（3）熟记质数表（见前两篇文章中——100以内质数歌）
课后练习：…点击卡片继续阅读
#教育# 【作业减什么，怎么减】作业是课堂教学的必要延伸，发挥着诊断、指导、检验、评价的功能。“双减”之一，就是减轻学生的作业负担。作业“减什么”“怎么减”，是学校教育教学改革的关键所在。
课堂上做“加法”，作业上做“减法”。减负首先要明确“减什么”？《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（简称《意见》）指出，减轻学生负担，根本之策在于全面提高学校教学质量，做到应教尽教，强化学校教育的主阵地。由此可以明确的是，需要减的是重复性、简单低效的作业，但课堂教学质量非但不能减，还要做“加法”。
东北师范大学附属小学从儿童学习的规律和特点出发，提出“有根源、有过程、有个性”的率性教学，强调从学生个体经验出发，立足情境/具象、操作/体验、对话/省思3个关键点，课堂上给学生充足的学习时间，提供丰富的学习素材，让学生经历从一般到个别的知识归纳过程，自主体验、理解与建构。这样的课堂学习是学生感兴趣、主动探究的学习，也是有意义、有质量的学习。
在这样的课堂学习下，需要辅以学生感兴趣、情境化、基于问题解决的高质量作业来完成一个完整的学习闭环，促进学生对知识的理解、迁移与运用。如一年级语文在学完《棉花姑娘》课文后留的作业：“七星瓢虫医好了棉花姑娘的病，棉花姑娘想要写一封感谢信，你来帮帮它吧！”这样的作业巧妙地将识字与写字、课文内容、人物情感以及写信的格式要求融合在一起，以“帮棉花姑娘写感谢信”的方式大大激发了学生完成作业的兴趣。又如二年级数学课学完“方位”后留的作业：“与爸爸妈妈走1000米，观察自己家东西南北都有什么建筑物？”让学生在生活情境中理解方位以及数字，促进对知识的深化和应用。
需要特别指出的是，必要的重复性训练与实践性活动都是检验知识理解与知识运用的重要手段，我们需要减掉的是一遍又一遍、繁冗无效、扼杀学生兴趣的无效作业，而不是简单盲目地减。只有课堂上做“加法”，学生对知识吃透理解，才能确保学习质量，不背离“双减”的意义。
质量上做“乘法”，数量上做“除法”。明确了“减什么”，就需要多样化探索“怎么减”。《意见》提出，将作业设计纳入教研体系，系统设计符合年龄特点和学习规律、体现素质教育导向的基础性作业。鼓励布置分层、弹性和个性化作业，坚决克服机械、无效作业，杜绝重复性、惩罚性作业。由此，要从作业的内容、形式入手，开发多样化、个性化作业，提升作业质量。
东北师范大学附属小学一直以来秉持尊重学生、尊重规律的理念，对作业的内容、形式作出了积极有益的探索，形成了《作业管理办法》，强调年组作业的统筹管理、合理调控，强调学科作业要符合学科特点、满足学段化、多样化、个性化等特点。
分层作业满足学生个性化需求。为了满足学生在学习起点、学力水平、学习特征以及兴趣、习惯上的差异，学校在分层作业上进行了多年的探索。不同层次的作业满足了学生个性化的需求，让A层学生“吃得饱”，让C层学生“吃的了”，让B层学生“跳一跳，够得着”。分层作业的选择以学生自愿选择为主，教师加以引导，并对分层进行动态管理。同时，教师十分注重对学生选择分层作业的引导和评价，既注重学习结果，又注重学习过程，让每个学生都能通过分层作业巩固知识、收获自信。
实践性作业重在培育学生核心素养。教师设计作业时，要突出实践性和探究性，发掘学生感兴趣的主题，让学生在真实情境中体验、探究，解决问题、获得真知。
阅读作业涵养学生心灵。学校重视阅读对学生丰富知识、开阔视野、涵养心灵的意义，着重激发学生阅读兴趣、培养学生阅读习惯。不同年段学生都有相应的阅读作业，并辅以丰富多彩的阅读记录卡，如低年级的阅读存折、中年级的手抄报，高年级的阅读手册等。
（作者于 伟 王廷波 赵艳辉，单位系东北师范大学附属小学）
来源：中国教师报
资料分析｜截位直除规则
截位直除操作结论：对分母截位。
根据选项四个数确定截几位进行估算
具体如下：
选项首位都不同：分母截两位；
选项首位相同、次位不同，且次位差＞首位：分母截两位；
选项首位相同、次位不同，且次位差≤首位：分母截三位。
注：选项过于接近或者不是单一除法计算的题目用截位直除可能出错。
【解析1】
选项首位均不同，分母截两位为39变为：（42470-38928）/39，首位商9，选C。
【练习1】
（42470-38928）/38928
A.4.5% B. 6.9%
C.9.1% D. 1 3.3%
【解析2】
选项首位有相同，则看次位，9-2=7＞首位 6， 则分母截两位为38，变为23483/38，首位商 6 ，第二位商1，接近2，选B。
【练习2】
23483/3795
A.1.2 倍 B. 6.2 倍
C.6.9 倍 D. 7.2 倍
【解析3】
选项首位有相同，则看次位，最相近的差 5-0=5≤首位 8 ，则分母截三位为104，变为8333/104，首位商 8 ，第二位接近 0 选 B 。
【练习3】
8333/104485
A.7.5%B. 8.0%
C.8.5%D. 9.3%
【解析4】
选项首位有相同，则看次位，最相近的差 7-2=5＞首位3，则分母截两位为73 ，变为27064/73，首位商 3 ，第二位商 7 ，选 B。
【练习4】
27064/73357
A.32%B. 37%
C.42%D. 47%
【事业单位行政职业能力测验备考：如何快速解决不定方程问题】
数量关系对于大部分考生来说都是行测试卷中难度相对较大的一个部分，而对于其中的题目很多都是采用方程法来解决，利用方程解题的核心在于构造等量关系，在列方程的过程中，会出现一类比较特殊的方程——不定方程，不定方程是指未知数的个数多于独立方程个数的一类方程，它的难点往往在于解方程，那接下来中公教育就带着大家一起来学习解不定方程的相关方法。
不定方程的解法一般分为两类，一类是未知数在正整数范围内，通常采用代入排除法、整除、奇偶性、尾数法来解决，另外一类是未知数在任意范围内时，此时采用的方法一般是特值法。下面用例题来具体说明。
例1
某班给学生分发 54 个苹果，为了保证每人都有，给每个男生分 6 个，每个女生分5 个，正好分完，求有多少个男生?
A.8 B.6 C.4 D.5
【答案】C。中公解析：由题意，等量关系是男女生所分的苹果总量为 54，而想把分到的苹果数量表示出来，还要知道男生和女生各自的人数，所以可以设男女生人数分别为 x、y。根据题意，可得 6x+5y=54。x、y代表人数，那么一定都是正整数。
方法一，代入排除，把四个选项分别代入到方程中的x，同时要满足y也为正整数，那么只有 C 满足题意。
方法二，整除法：通过观察方程，我们会发现54 为6倍数，6x为6的倍数，则5y也是6的倍数，令y=6，可得x=4，满足题意;令y=12，x为非正整数，不满足题意，随着 y 不断增大 x 为负数，不满足题意，故本题选 C。
方法三，奇偶性：通过观察方程，我们会发现54 为偶数，6x 为偶数，则 5y 为偶数，故y为偶数，令y=2，可得x非整数，不满足题意;令y=4，可得x非整数，不满足题意;令 y=6，可得 x=4，满足题意;y=8、10 均不满足题意，故本题选 C。
方法四，尾数法：方程中54 尾数为 4，5y 尾数只能为 0 或 5，又因为 54 为偶数，6x 为偶数，偶数+偶数=偶数，则 5y 为偶数，故 5y 尾数只能为 0，所以 6x 尾数为4，令x=4，则y=6，满足题意;令x=9，则y=0，不满足题意，故本题选 C。
例2
超市将 99 个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?
A.3 B.4 C.7 D.13
【答案】 D。中公解析：设大包装盒有 x 个，小包装盒有 y 个，则 12x+5y=99，其中x、y 之和为十多个。5y 的尾数只能是 5、0，那么对应的 12x 的尾数只能为 4 或者 9，而 12x 为偶数，故尾数只能为 4。此时，只有 x=2 或者 x=7 时满足这一条件。当 x=2 时，y=15，x+y=17，正好满足条件，y-x=13;当 x=7 时，y=3，x+y=10，不符合条件，故本题选D。
例3
甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10 支圆珠笔和1支铅笔，共花了 43 元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?
A.21 元 B.11 元 C.10 元 D.17 元
【答案】C。中公解析：根据题意可知，等量关系为两种购买方式所花的钱数已知。那么可以设签字笔、圆珠笔、铅笔的单价分别为 a元、b 元、c 元。根据题意可得3a+7b+c=32①;4a+10b+c=43②，此时a、b、c代表单价，可以是任意范围内，所以求解可以采用特值法，首先令其中一个未知数为0，令 b=0，得3a+c=32;4a+c=43，解得a=11，c=-1，故所求a+b+c=11+0+(-1)=10.本题选C。
相信通过上面的几道例题，大家对于不定方程在不同范围内的两类解法也有了一定的了解，而要想真正熟练地掌握这种解法，还需要大家在备考期间多多练习，才能掌握其中的关键技巧，希望对大家的备考有所帮助。
舍友A离职到期后，私下承诺将其独立小房间交给B 居住。C不知情的情况下将A搬离后的垃圾收拾完后入住该宿舍，在群里知B态度后提前将门反锁。B十二点多回宿舍就一直在C门外刷抖音、玩游戏。超大音量放外音，偶发怪叫、骂人敲门、穿拖鞋不停走动，以影响C休息。持续三个多小时。
C将情况反馈给部门主管以及人事主管，希望其能解决该问题，假使不能解决，C随时可以提离职走人（C环境工程本科毕业，从事该工作五年，为公司技术骨干）。
A住的小房间是龙某外派前特意留给C的，但A直接搬进去了，并且说该房间属于他了，且只能住其一人，其他人东西放进去就给扔掉（A是潮汕人，比较传统，不做任何家务，龙某嫌弃他，怕其弄脏其留存的行李）。
B的诉求是其东西多一定要一个单独的房间，他要住在小房间，C可以去跟D（抽烟、熬夜）住。但拒绝搬去工业区（他一个人承担不起水电网费）。若C不主动退出，其将直接搬入，以劣币淘汰优币。
C拒绝B、D一人一间房，C、E、F三人挤一间房，且该房间C已经拖干净可光脚进去，不能忍受B前来作贱。
背景1：已知该层有三个房间，在A到期前，A单独住一小房间，B、D住一个稍大房间（B、D均吸烟熬夜打游戏），C、E、F三人挤一个稍大房间（宿舍是公司提供的免费员工宿舍）。
背景2:公司原本有两个三居室宿舍，疫情节约成本取缔一间宿舍，B、E、F从取缔的宿舍搬下来，因B为人邋遢（每天点外卖，一周就倒一两次外卖盒、房间墙被烟熏黄，棉被有暗黑色包浆），宿舍人员一致不愿意B搬入，要求其搬进工业园区宿舍（工业园另有空宿舍，但园区禁止做饭，C周末会做饭舍友一起吃）但B不听，将行李搬入D房间后不肯离开，说若不愿与其住，可搬出去。自此B每晚与D玩游戏到一两点，再去洗澡，洗澡间在C、E 、F房间隔壁，非常影响正常休息，且多次理论才稍加收敛。
背景3:B是深圳本地人，家里有一栋楼，B将自己的房间出租，然后搬去员工宿舍。过年前段时间B开始调休，一直窝在宿舍玩游戏直到8/2恢复生产（中途偶尔回家吃个团圆饭）。一月、二月产生水电费人均近两百元。以往月份仅人均不到五十，故C去物业查询水电费是否异常，并与其他人挨个检查电器是否异常耗电。多次与宿舍人员探讨耗电异常疑点。B一直沉默不说话，后D发现B有一大功率暖风机，常在我们不在的时候使用。后观察得知其正常使用一晚耗电二十多度。
在众人指责B，明知大家在排查异常耗电却不主动承认。B说天冷我开个电暖又怎么了，电费我又不是没出（水电费是公司财务每月从工资扣除AA制，也就是每人每月给B免费出150元电费）。
B家境较好，但较早步入社会（常见体积、面积公式，简单乘除法都不会，除以10都要掏出计算器，绝对真事，无丝毫夸张，C一直认为其小学肄业）染上了各种陋习，吃喝嫖赌样样俱全，人也很圆滑市侩。公司缺人情况下招收了B，在三个月转正考核期前人很勤劳，做事主动，故转正考核大家帮衬给答案情况下，顺利转正。但转正后就完全变了，做事散漫，不主动学习，工作一年后其能力也不足以应付工作。公司组长带组员制，没人愿意带其一起工作。
心中愤懑难以发泄，只能在网上不知名角落寥以倾诉，千里迢迢打工真的好难。
【瓯海：“加减乘除”法打造“黄金”营商环境】#民生汇# 1月29日，是兔年新春的第2个工作日，瓯海区把“经济高质量发展暨人才和科技创新大会”作为新春第一会，在新建成的奥体中心召开。和往年一样，科学家、优秀企业家和高层次人才等依然在前排C位就座。会上，瓯海区委书记曾瑞华承诺，新的一年，瓯海将通过做“除法”（破除政策执行朝令夕改、服务照本宣科现象)，为企业家创造英雄般的气场；做“乘法”（给予最公平的市场地位、最公正的执法地位），为企业家创造英雄般的地位；做“加法”（补助、奖励、让利等措施），为企业家创造英雄般的环境；做“减法”（降低成本、减免滞纳金等福利，今年将再为企业减负30亿元以上），为企业家创造英雄般的待遇。
