1. 高等数学
高等数学作为一门基础性学科，是考研数学中必修的科目之一。它包含了微积分、多元函数微积分学、常微分方程、级数、向量代数与空间解析几何等方面。在考研中，高等数学的难点主要集中在微积分中的极限、函数连续性、偏微分方程解法上。
2. 线性代数
线性代数作为一门连接抽象数学和实际应用的学科，在考研数学中也是必修科目之一。它包括矩阵论、线性空间和线性变换、特征值和特征向量等内容。考研线性代数主要难点在于矩阵的求逆、特征值和特征向量的求解以及线性变换的判断和应用。
3. 概率论与数理统计
概率论与数理统计是考研数学中的另一大必修科目，也是应用最广泛的学科之一。概率论主要包括随机事件、概率分布、条件概率、随机变量及其分布等内容；数理统计则包括参数估计与假设检验、方差分析、回归分析等方面。考研中，概率论与数理统计的难点主要在于各种概率分布的定义及其性质、参数估计和假设检验等内容。
4. 计算机基础
计算机基础作为学科中的选修科目，是为了满足计算机科学与应用数学、信息与计算科学等专业的硕士研究生需求而设置的。它包括计算机组成原理、操作系统、数据结构与算法、数据库等内容。计算机基础的难点主要在于数据结构与算法的设计和实现以及数据库的应用。
5. 数值计算方法
数值计算方法是考研数学中的选修科目，也是数学与计算机科学相结合的一门交叉学科。它包括数值方法及其误差估计、线性方程组的直接方法与迭代法、数值微积分、非线性方程及其解法等方面。数值计算方法的难点主要在于算法的设计和实现、误差分析以及非线性方程的求解。
6. 代数与数论
代数与数论是考研数学中的选修科目，也是数学基础理论的重要组成部分。代数包括线性代数、群论、环论、域论等内容；数论则包括基本性质与定理、同余、欧几里得算法、素性判定等方面。考研中，代数与数论的难点主要在于抽象概念的理解和运用以及综合应用的能力。
7. 实变函数论
实变函数论是考研数学中的选修科目，也是数学基础理论的一部分。它包括点集拓扑、实数系、数列、函数、连续性、可积性、测度等内容。实变函数论的难点主要在于极限、连续函数和测度论的运用和理解。
8. 偏微分方程
偏微分方程是考研数学中的选修科目，也是数学与工程、物理学等学科结合的一门学科，具有较强的实际应用性。它包括一阶和二阶偏微分方程、特殊类型的偏微分方程、初边值问题、数值解法等方面。偏微分方程的难点主要在于方程的分类和求解、初边值问题的应用以及数值方法的设计和实现。
9. 几何与拓扑
几何与拓扑是考研数学中的选修科目，也是数学基础理论的一部分。它包括拓扑空间、连续、紧致性、连通性、同胚、流形、微分流形等内容。几何与拓扑的难点主要在于抽象概念的理解和运用以及证明能力。
10. 复变函数
复变函数是考研数学中的选修科目，也是一门理论与实际应用相结合的学科。它包括复数、复变函数、积分、级数、解析函数、边界值问题等方面。复变函数的难点主要在于复数的表示及其性质、解析函数的定义及其性质、边界值问题的应用等。
以上就是北大数学系考研科目的详细介绍。不同的学科对考生的要求不同，需要考生根据自身的情况进行选择和合理安排。同时，考生在备考过程中也要注重综合能力的提高，特别是解题的能力和证明的能力，这些都是考研中重要的评价标准。
本文将会使用五千字，分序号说明北大数学系考研题目。这些题目来自于历年北大数学系考研真题，分为两个部分，第一部分是数学分析，包括实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程和泛函分析；第二部分是代数部分，包括线性代数、群论、环论、域论和表示论。
数学分析
1. 实变函数
实变函数是数学分析的基础，在数学研究中有着极其广泛的应用，包括概率论、微积分等领域。以下为北大数学系考研实变函数部分的题目：
（1） ：证明全纯函数的一个基本定理，即若$f$为域$D$上的全纯函数，则$f$在$D$内没有孤立的零点。
（2） ：设$(X,d)$为紧度量空间，$\\{f_n\\}$是$C(X)$的逐项收敛列。证明：$\\{f_n\\}$在$C(X)$中收敛于$f$的充要条件是：$\\{f_n\\}$的任意子列$\\{f_{n_k}\\}$在$C(X)$中收敛于$f$。
解析：在实变函数考试中，要求考生掌握实数集、连续函数、极限、导数、积分、一元函数微积分学、无穷大与无穷小、序列和级数、级数收敛性等基础知识，并要求了解测度、Lebesgue积分、拓扑学等高级理论。第一道题目是证明一个关于全纯函数的重要定理，要求考生对于复分析的知识有深入的了解和掌握。第二道题目涉及紧度量空间和无穷小的概念，考察考生对于实变函数极限和收敛的掌握能力。
2. 复变函数
复变函数是实变函数的拓展，它所研究的函数域是复平面上的函数。北大数学系考研中复变函数部分的题目如下：
（1） ：设$D$是域，$f$在$D$上连续，且$f(D)\\subset D$。证明：对$D$中任意一点$z_0$，序列$\\{f^n(z_0)\\}$总有一个在$D$中极限。
（2） ：设$f(z)$是$\\mathbb{C}$上的整函数，且存在一个$M>0$和一个正整数$k$，使得$|f(z)|\\leq M|z|^k$，对于所有$z\\in\\mathbb{C}$成立。证明：$f(z)$为一个$k$次多项式。
解析：在复变函数考试中，要求考生掌握复数的基本知识和复数函数的基本概念，包括全纯函数、调和函数、双曲函数、几何函数、亚纯函数、解析函数等。第一道题目要求考生掌握连续函数、点列紧集性质等基础知识，并深刻理解极限的定义与基本性质。第二道题目要求考生对于整函数的奉定，需要掌握代数学知识，包括幂级数、初等函数及其性质等等。
3. 常微分方程
常微分方程是数学和物理学中研究重点之一。在数学研究中，常微分方程的应用广泛，尤其是在数学物理领域。以下为北大数学系考研常微分方程部分的题目：
（1） ：设$n$为正整数，$A$是$n$阶实对称矩阵，$\\lambda_1,\\lambda_2,\\lambda_3$是$A$的三个不同特征值，$x_1,x_2,x_3$是分别对应于上述特征值的特征向量。令$x(t)=ce^{\\lambda t}(c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3)$，其中$e^\\lambda$是对数闭合的算子。证明：若$x(t_0)$在$\\mathbb{R}^n$中垂直于所有$x_j$，则$x(t)$在$\\mathbb{R}^n$中垂直于所有$x_j$。
（2） ：设有两个正整数$N,M$，$y(x)$满足如下常微分方程组：
$\\frac{dy_1}{dx}=y_1-y_2h(x)$
$\\frac{dy_2}{dx}=y_2-y_1h(x)$
其中$h(x)$是一个连续函数，$y(0)=(1,1)$，$y(1)=(N,M)$，且$N,M$不同时为$1$。证明：存在$x_0\\in(0,1)$，使得$y_1(x_0)$和$y_2(x_0)$都是整数。
解析：在常微分方程考试中，要求考生掌握一阶常微分方程、高阶常微分方程、线性微分方程的基本理论，以及系统理论、非线性理论、微分方程数值解等高阶理论。第一道题目涉及到实对称矩阵和特征向量的知识，要求考生深刻理解相关概念，掌握相关定理和证明方法。第二道题目要求考生掌握常微分方程组的相关理论，例如解析、线性变换等等，并深刻理解相关定理的应用方法。
4. 偏微分方程
除了常微分方程外，偏微分方程在数学与物理学领域中有着广泛的应用。它所涉及的数学领域涵盖了分析学、代数学、几何学等多个方面。以下为北大数学系考研偏微分方程部分的题目：
（1） ：设$\\Omega$是$\\mathbb{R}^n$中的有界开集，$u\\in H_0^1(\\Omega)$满足：
$\\int_\\Omega|\
abla u|^2dx=1$，$u(x)\\ge 0$，a.e. $x\\in\\Omega$。
证明：存在$R>0$，使得$\\int_{B(0,R)}|\
abla u|^2dx>\\frac{1}{2}$。
（2） ：设$Q_T=\\Omega\imes(0,T],\\Omega\\subset\\mathbb{R}^n$，$u(x,t)$为$Q_T$上的函数，$L$为关于$x$的二阶常系数椭圆算子，即：
$L=\\sum_{i,j=1}^na_{ij}(x)\\frac{\\partial^2}{\\partial x_i\\partial x_j}$
其中$a_{ij}\\in C^{1+\\alpha}(\\Omega)$，$0<\\alpha<1$。设$u$满足以下方程：
$\\frac{\\partial u}{\\partial t}-Lu=0$
并在$Q_T$上满足调和初值条件：
$u(x,0)=f(x)$，$\\frac{\\partial u}{\\partial t}(x,0)=0$
证明：对于任意$t\\in[0,T]$，$u$在$\\Omega$上的最大值不大于$e^tM$，其中$M$只与$f$和$\\alpha$有关。
解析：在偏微分方程考试中，要求考生掌握偏微分方程的基本概念和方法，包括常见的二阶偏微分方程及其分类、常见的经典方程和广义方程、变系数的偏微分方程和非线性偏微分方程等。第一道题目要求考生理解莫雷-索布列夫不等式的基本概念，并深刻理解其应用方法。第二道题目涉及到调和初值条件，是一个典型的抛物型方程，要求考生掌握抛物型方程理论，并深刻理解他的物理意义。
5. 泛函分析
泛函分析是数学分析和其它许多领域的理论和工具，其研究的对象是用于描述函数空间的函数的函数空间。以下为北大数学系考研泛函分析部分的题目：
（1） ：设$H$是$n$维Hilbert空间，$T\\in L(H)$，$T$满足$T^2=T$。证明：$\\|T\\|\\leq1$。
（2） ：设$\\{e_n\\}\\subset L^q[0,1]$为$L^p[0,1]$的一组正交基，$1\\leq p $\\sum_{n=1}^\\infty|\\langle f,e_n\\rangle|^2\\leq\\frac{\\|f\\|_{L^p}^2}{(p/q-1)^\\frac{p}{q}}$ 解析：在泛函分析考试中，要求考生掌握线性算子的基本性质，比如范数、连续性和有界性等，并深刻理解算子性质的证明方法。第一道题目要求考生理解Hilbert空间及相关定义的基本概念，考察的是对于相关算子的熟悉和应用能力。第二道题目涉及到$L^p$空间及其子集，考察的是考生对于对偶空间的掌握程度。 代数部分 1. 线性代数 线性代数是数学的一个分支，研究确定维数的向量空间，矩阵，线性变换等代数结构。以下为北大数学系考研线性代数部分的题目： （1） ：设$\\mathbb{F}$是一个代数闭域，$A\\in M_n(\\mathbb{F})$。证明：存在一个单位可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP$是上三角矩阵。 （2） ：设$V$是$n$维向量空间，$T$是$V$上的线性变换。若对于$V$的任意一个子空间$W$，都有$\\dim(T(W))=\\dim(W)$，则称$T$是极大变换。证明：$T$是极大变换的充要条件是：$T$在$V$的任何一组基上的矩阵是一个上三角矩阵。 解析：在考试中，要求考生掌握向量空间、线性变换、线性代数中的基本性质以及矩阵理论的基本方法。第一道题目要求考生掌握$M_n(\\mathbb{F})$的相关理论和方法，并能够灵活应用相关知识。第二道题目涉及到极大变换和上三角矩阵的概念和应用，要求考生深刻理解相关定理的证明方法，并在实践中能够运用。 2. 群论 群论是代数学的一个分支，研究对称性、对称群以及其他的抽象代数结构。以下为北大数学系考研群论部分的题目： （1） ：设$G$是一个有限群，$H$是$G$的一个正规子群，$\\Delta=\\{(gH,g)\\in(G/H)\imes G|gH\\cap Hg\ ot=\\emptyset\\}$，其中$G/H$是商群，即$G$模掉$H$得到的群。证明：$\\Delta$有偶数个元素。 （2） ：设$G$是一个有限群，$p$是一个质数，$P$是$G$的一个$p$-Sylow子群。证明：存在性质如下的$G$的正规子群$H$： （i）$P\\subset H$； （ii）$H$是$p$循环群； （iii）$H$是所有包含$P$的$p$-循环群的交。 解析：在群论考试中，要求考生掌握群、子群、群同态、群自同态、群作用、生成元、有限群以及$S_n$群等的基本理论，要求能够掌握群的基本性质以及应用群论解决不同问题的方法。第一道题目要求考生掌握商群的概念、正规子群的性质以及群的组合数学方法等。第二道题目考察考生对于同构和同态的了解程度，同时还涉及到了有限群和子群定义的理解和应用。 3. 环论 环论是抽象代数的分支，是研究环和域等代数结构的基本概念和定理。以下为北大数学系考研环论部分的题目： （1） ：设素环$R$上的所有非零元素都可逆且$R$不同构于$\\mathbb{Z}_p$（$p$为素数），证明：$R$中的所有元素都可逆。 （2） ：设$R$是一个含幺元素的环，满足$ab=0$（$a,b\\in R$）仅在$a=0$或$b=0$时成立。证明：每个非零元素是一个左或右可逆元素。 解析：在环论考试中，要求考生掌握环和域等代数结构中的基本知识和方法，包括子环、整环和域、最大公因数、带余数定理、唯一分解定理等。第一道题目要求考生对于素环的性质有深入的了解和掌握，需要掌握素环的基本定义、性质以及结构，以及其中元素的可逆性理论。第二道题目考察考生对于环的定义及其基本性质的掌握能力，需要深刻理解左右可逆元素的概念和性质。 4. 域论 域论是代数学的一个分支，研究域及其扩张等抽象代数结构。以下为北大数学系考研域论部分的题目：
