摘要：等价无穷小应如何正确应用？泰勒展开应该展开到第几阶？
一、常用的等价无穷小
然而，考试通常不会有这么简单的题目！我们从一道经典例题说起
例1：求极限：
错解：等价无穷小
, 因此
错误分析：等价不是相等！
例如：银行卡余额为500000元（sinx），扶个老太太的成本499995元！多出的5块，相当于高阶无穷小量，相对于50万可以忽略不计！但若扶了老太太再买个雪糕2块就不能忽略了（x^3）
等价的定义:
由高阶无穷小的定义，当
时， 都是 的高阶无穷小
因为,
，故 是 的高阶无穷小, 记作 ;
因为,
, 故 是 的高阶无穷小, 记作 ;
因为,
, 故 是 的高阶无穷小, 记作 ;
综上，
，无法判断。此题 的精度不够。
例2：求极限:
分析：由等价无穷小
, 因此
此解答在考研范围是错误的！
解答：极限定义：函数
在点 的某一去心领域内有定义......！
当
时，总存在点 使得 ，即分母等于0， 也即 在该点无意义！不满足极限的定义，因此极限不存在！
例3：求极限:
解：
类型（ ）：先取对数 ，再等价
注：
可以认为是因为满足极限的四则运算，而我个人更偏向于精度够了。
即， 。因此，
问题：等价无穷小什么时候能用？
二、泰勒公式
常用的泰勒公式
例1：求极限：
正解：
例4：求极限：
错解：等价无穷小
, 因此
错误分析：
, 即
这是因为，
因此,
类似例1，
正解：泰勒公式：
小技巧：
都是 的高阶无穷小量，记作 . 我们在计算过程无需把 每一项全部列出来！
于是，我们可以得出结论：等价是否能用看等价的精度！
泰勒公式：
时，精度 , 即 正确！错误!时，精度 , 正确！正确!
问：如何知道泰勒展开到第几阶？
答：如例4，分母为
, 则极限中的每一个函数应展开为
例5：求极限 ：
分析：分母为
, 因此展开至 即可。
解答：
小技巧：我们知道
, 而题目需 ，只需
例6：求极限：
解： 诱导公式：
例7：求极限:
.
解：
型：先取对数化为 型，提公因式
尝试过拆项，失败。直接暴力泰勒（计算量巨大）。
注意到：
，以及
类似(肯定也有这么长，直接上WolframAlpha了)，
进而可得：
注：此解法并不是最优的，此处仅作为暴力展开的示例。予一人给出了更简洁的解法。
这个极限题应该怎么做呢？
