【圆锥曲线】极点极线1

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【圆锥曲线】极点极线1简介1. 从切线说起2. 切点弦小结

简介

本系列文章面向学习圆锥曲线的高中生，试图以高中所学的圆锥曲线知识入手，介绍有关极点极线知识的一些实用推论和相关解题技巧。

1. 从切线说起

定理1.1椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1C:a2x2​+b2y2​=1 (a>0,b>0)\;(a>0,\;b>0)(a>0,b>0). ∀P(x0,y0)∈C\forall\; P(x_0,y_0)\in C∀P(x0​,y0​)∈C，过点 PPP 作椭圆 CCC 的切线，则切线 lll 的方程为

x0xa2+y0yb2=1(*1.1)\dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1 \tag{*1.1} a2x0​x​+b2y0​y​=1(*1.1)

（此结论要求熟记并且灵活运用）

证1（判别式法）

证明：

由于P(x0,y0)∈CP(x_0,y_0)\in CP(x0​,y0​)∈C，所以

x02a2+y02b2=1(1.1)\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}=1 \tag{1.1}a2x02​​+b2y02​​=1(1.1)

若 x0=±ax_0=\pm ax0​=±a，则切线lll的方程为 x=±ax=\pm ax=±a，命题显然成立。

若 x0≠±ax_0\ne\pm ax0​​=±a，则 lll 的斜率存在，设 l:y=kx+ml: y=kx+ml:y=kx+m，则

y0=kx0+m(1.2)y_0=kx_0+m \tag{1.2}y0​=kx0​+m(1.2)

与椭圆方程联立消去 yyy，得

(b2+a2k2)x2−2kma2x+a2(m2−b2)=0(1.3)(b^2+a^2k^2)x^2-2kma^2x+a^2(m^2-b^2)=0 \tag{1.3} (b2+a2k2)x2−2kma2x+a2(m2−b2)=0(1.3)

判别式

Δx=4a2b2(b2+a2k2−m2)(1.4)\Delta_x =4a^2b^2(b^2+a^2k^2-m^2) \tag{1.4}Δx​=4a2b2(b2+a2k2−m2)(1.4)（常用结论建议背会）

由切线性质，知方程 (1.3)(1.3)(1.3) xxx有且仅有唯一解。故 Δx=0\Delta_x = 0Δx​=0，即

b2+a2k2−m2=0(1.5)b^2+a^2k^2-m^2=0 \tag{1.5}b2+a2k2−m2=0(1.5)

联立 (1.2)(1.2)(1.2) 和 (1.5)(1.5)(1.5) 消去 mmm 得关于kkk的方程

(a2−x02)k2+2x0y0k+b2−y02=0(1.6)(a^2-x_0^2)k^2+2x_0y_0k+b^2-y_0^2=0 \tag{1.6}(a2−x02​)k2+2x0​y0​k+b2−y02​=0(1.6)

判别式

Δk=4a2b2(x02a2+y02b2−1)(1.7)\Delta_k=4a^2b^2( \dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}-1) \tag{1.7}Δk​=4a2b2(a2x02​​+b2y02​​−1)(1.7)

代入 (1.1)(1.1)(1.1) ，得 Δk=0\Delta_k=0Δk​=0，因此方程 (1.6)(1.6)(1.6) 有且仅有唯一解，且解为

k=−2x0y02(a2−x02)=−b2x0a2y0(1.8)k=-\dfrac{2x_0y_0}{2(a^2-x_0^2)}=-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0} \tag{1.8}k=−2(a2−x02​)2x0​y0​​=−a2y0​b2x0​​(1.8)（利用了 (1.1)(1.1)(1.1) 进行化简）

l:y=kx+ml: y=kx+ml:y=kx+m代入 (1.2)(1.8)(1.2)\;(1.8)(1.2)(1.8) 消去 m,km,km,k 得

l:x0xa2+y0yb2=1l: \dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1l:a2x0​x​+b2y0​y​=1 ■\blacksquare■

由证1过程，立即得推论

推论1.1椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1C:a2x2​+b2y2​=1 (a>0,b>0)\;(a>0,\;b>0)(a>0,b>0). ∀P(x0,y0)\forall\; P(x_0,y_0)∀P(x0​,y0​)，过点 PPP 作椭圆 CCC 的切线，

若PPP在椭圆CCC上，则可作111条切线.若PPP在椭圆CCC外，则可作222条切线.若PPP在椭圆CCC内，则可作000条切线.

证明：

若 x0≠±ax_0\ne\pm ax0​​=±a，则若存在切线，其斜率一定存在，式 (1.6)(1.6)(1.6) 为关于斜率 kkk 的二次方程. 注意式 (1.7)(1.7)(1.7)，1. 2. 3. 分别对应 Δk=0,Δk>0,Δk<0\Delta_k=0, \Delta_k>0, \Delta_k<0Δk​=0,Δk​>0,Δk​<0 等三种情况，对应 kkk 有且仅有1解（即111条切线），有相异的2解（即222条切线）和无解（即000条切线）.

若 x0=±ax_0=\pm ax0​=±a，则有且仅有一斜率不存在切线 x=±ax=\pm ax=±a，若存在其它切线，其斜率一定存在. 实际上，式 (1.6)(1.6)(1.6) 已不是二次方程，其退化为

2x0y0k+b2−y02=0(1.9)2x_0y_0k+b^2-y_0^2=0 \tag{1.9}2x0​y0​k+b2−y02​=0(1.9)其在 y0=0y_0=0y0​=0 （PPP在椭圆上）无解，即总共只有111条切线；在 y0≠0y_0\ne 0y0​​=0 （PPP在椭圆外）有唯一解，即总共有222条切线. ■\blacksquare■

证2（隐函数求导法）

证明：椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1C:a2x2​+b2y2​=1 的方程左右对xxx求导，得

2xa2+2yb2y′=1(1.10)\dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2y}{b^2}y'=1 \tag{1.10}a22x​+b22y​y′=1(1.10)

y≠0y \ne 0y​=0时

y′=−b2xa2y(1.11)y'=-\dfrac{b^2x}{a^2y}\tag{1.11}y′=−a2yb2x​(1.11)此式对 ∀(x,y)∈C(y≠0)\forall\; (x,y)\in C\;(y\ne 0)∀(x,y)∈C(y​=0) 均成立.

对 P(x0,y0)P(x_0,y_0)P(x0​,y0​) ，

若 y0=0y_0=0y0​=0，则切线lll的方程为 x=±ax=\pm ax=±a，命题显然成立。

若 y0≠0y_0\ne 0y0​​=0，则 lll 的斜率存在，且 k=−b2x0a2y0k=-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}k=−a2y0​b2x0​​. 利用点斜式即得

l:x0xa2+y0yb2=1l: \dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1l:a2x0​x​+b2y0​y​=1 ■\blacksquare■

注：

这里的隐函数，是指椭圆方程的 yyy 没有被 xxx 显式表示，即没有写为 y=y(x)y=y(x)y=y(x) 的形式.。

当然也可以根据 yyy 的符号把其改写为两段显函数，然后分别求导（过程繁琐）。

证3（仿射变换）

略

用隐函数求导法还可以轻松证明以下结论

定理1.2双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1C:a2x2​−b2y2​=1 (a>0,b>0)\;(a>0,\;b>0)(a>0,b>0). ∀P(x0,y0)∈C\forall\; P(x_0,y_0)\in C∀P(x0​,y0​)∈C，过点 PPP 做双曲线 CCC 的切线，则切线 lll 的方程为：

x0xa2−y0yb2=1(*1.2)\dfrac{x_0 x}{a^2}-\dfrac{y_0 y}{b^2}=1\tag{*1.2} a2x0​x​−b2y0​y​=1(*1.2)

定理1.3抛物线 C:y2=2pxC: y^2=2pxC:y2=2px (p≠0)\;(p\ne 0)(p​=0). ∀P(x0,y0)∈C\forall\; P(x_0,y_0)\in C∀P(x0​,y0​)∈C，过点 PPP 作抛物线 CCC 的切线，则切线 lll 的方程为：

y0y=p(x+x0)(*1.3)y_0y=p(x+x_0)\tag{*1.3} y0​y=p(x+x0​)(*1.3)

定理1.4二次曲线 Γ:Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0\Gamma: Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0Γ:Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0. ∀P(x0,y0)∈C\forall\; P(x_0,y_0)\in C∀P(x0​,y0​)∈C，过点 PPP 作曲线 CCC 的切线，则切线 lll 的方程为：

Ax0x+By0y+C2(x0y+y0x)+D2(x+x0)+E2(y+y0)+F=0(*1.4)Ax_0x+By_0y+\dfrac{C}{2}(x_0y+y_0x)\\ +\dfrac{D}{2}(x+x_0)+\dfrac{E}{2}(y+y_0)+F=0 \tag{*1.4} Ax0​x+By0​y+2C​(x0​y+y0​x)+2D​(x+x0​)+2E​(y+y0​)+F=0(*1.4)

注：即对二次曲线方程做如下替换

x2→x0xy2→y0yxy→12(x0y+y0x)x→12(x+x0)y→12(y+y0)\begin{aligned} x^2&\to x_0x \\ y^2&\to y_0y \\ xy&\to \dfrac{1}{2}(x_0y+y_0x) \\ x&\to \dfrac{1}{2}(x+x_0) \\ y&\to \dfrac{1}{2}(y+y_0) \end{aligned} x2y2xyxy​→x0​x→y0​y→21​(x0​y+y0​x)→21​(x+x0​)→21​(y+y0​)​

2. 切点弦

由推论1.1知，过椭圆外一点可以作椭圆的两条切线，分别切椭圆于两不同的切点。连接两切点的线段即为椭圆的一条弦，称其为切点弦。切点弦是圆锥曲线题的考察热点，有必要研究其性质。

定理2.1椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1C:a2x2​+b2y2​=1 (a>0,b>0)\;(a>0,\;b>0)(a>0,b>0). P(x0,y0)P(x_0,y_0)P(x0​,y0​)是椭圆外一点，过点 PPP 作椭圆 CCC 的切线 l1,l2l_1,l_2l1​,l2​，分别切 CCC 于点A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)A(x1​,y1​),B(x2​,y2​)，则直线 ABABAB 的方程为

x0xa2+y0yb2=1(*2.1)\dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1 \tag{*2.1} a2x0​x​+b2y0​y​=1(*2.1)

注：若 PPP 向椭圆上一点 P′P'P′ 趋近，则点A,BA,BA,B也向P′P'P′趋近，直线ABABAB趋近于椭圆在 P′P'P′ 处的切线，符合定理1.1的内容.

证明

由定理1.1，知

l1l_1l1​ 的方程为x1xa2+y1yb2=1(2.1)\dfrac{x_1 x}{a^2}+\dfrac{y_1 y}{b^2}=1 \tag{2.1} a2x1​x​+b2y1​y​=1(2.1)

l2l_2l2​ 的方程为x2xa2+y2yb2=1(2.2)\dfrac{x_2 x}{a^2}+\dfrac{y_2 y}{b^2}=1 \tag{2.2} a2x2​x​+b2y2​y​=1(2.2)

由于 P∈l1,P∈l2P\in l_1, P\in l_2P∈l1​,P∈l2​，知 (x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​) 满足 (2.1),(2.2)(2.1),(2.2)(2.1),(2.2)，得

x1x0a2+y1y0b2=1(2.3)\dfrac{x_1 x_0}{a^2}+\dfrac{y_1 y_0}{b^2}=1 \tag{2.3}a2x1​x0​​+b2y1​y0​​=1(2.3)

x2x0a2+y2y0b2=1(2.4)\dfrac{x_2 x_0}{a^2}+\dfrac{y_2 y_0}{b^2}=1 \tag{2.4}a2x2​x0​​+b2y2​y0​​=1(2.4)

换一个角度考虑，

即点A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)A(x1​,y1​),B(x2​,y2​)均满足

x0xa2+y0yb2=1(2.5)\dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1 \tag{2.5} a2x0​x​+b2y0​y​=1(2.5)

由于A,BA,BA,B两点确定一条直线，知直线ABABAB的方程就是(2.5)(2.5)(2.5).■\blacksquare■

定理2.2椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1C:a2x2​+b2y2​=1 (a>0,b>0)\;(a>0,\;b>0)(a>0,b>0). P(xp,yp)P(x_p,y_p)P(xp​,yp​)是椭圆外一点，过点 PPP 作椭圆 CCC 的切线 l1,l2l_1,l_2l1​,l2​，分别切 CCC 于点A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)A(x1​,y1​),B(x2​,y2​). 若切点弦ABABAB恒过椭圆内一定点M(x0,y0)M(x_0,y_0)M(x0​,y0​)，则点PPP在下面的定直线上

x0xa2+y0yb2=1(*2.2)\dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1 \tag{*2.2} a2x0​x​+b2y0​y​=1(*2.2)

证明

由定理2.1知，直线ABABAB的方程为

xpxa2+ypyb2=1(2.6)\dfrac{x_p x}{a^2}+\dfrac{y_p y}{b^2}=1 \tag{2.6} a2xp​x​+b2yp​y​=1(2.6)

由于M∈ABM\in ABM∈AB，即 M(x0,y0)M(x_0,y_0)M(x0​,y0​) 符合式 (2.6)(2.6)(2.6)，代入即得

xpx0a2+ypy0b2=1(2.7)\dfrac{x_p x_0}{a^2}+\dfrac{y_p y_0}{b^2}=1 \tag{2.7} a2xp​x0​​+b2yp​y0​​=1(2.7)

换一个角度考虑，

即点P(xp,yp)P(x_p,y_p)P(xp​,yp​)符合方程

x0xa2+y0yb2=1(2.8)\dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1 \tag{2.8} a2x0​x​+b2y0​y​=1(2.8)

所以点PPP在式 (2.8)(2.8)(2.8) 所表示的定直线上. ■\blacksquare■

小结

在切线和切点弦的相关问题中，直线方程 x0xa2+y0yb2=1\dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1a2x0​x​+b2y0​y​=1 屡见不鲜。

这启示我们，点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​)和直线x0xa2+y0yb2=1\dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1a2x0​x​+b2y0​y​=1 之间可能存在某些特殊的联系。