通过整理和归纳知识，学生能够锻炼分析问题、归纳总结、推理思维等思维能力，促进对数学的深入理解和应用。因此，初二数学上册知识点的总结归纳是必要且有益的。下面是小编整理的初二数学上册知识点总结归纳，仅供大家参考。
文章目录
基础运算
代数式与方程
不等式与不等式组
函数与图像
几何初步知识
全等三角形
轴对称和轴对称图形
基础运算
一、分段分步法
例1、计算：
分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
解：原式
二、分裂整数法
例2、计算：
分析：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
解：原式
三、拆项法
例3、计算：
分析：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项法。
解：原式
四、活用乘法公式
例4、计算：
分析：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。
解：当且时，
原式
五、巧选运算顺序
例5、计算：
分析：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。
解：原式
六、见繁化简
例6、计算：
分析：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。
解：原式
代数式与方程
知识点1：
一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程．
一元一次方程的标准形式是：ax＋b=0．
不定方程:一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解。代数方程:代数方程通常指整式方程。有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程和无理方程。
等式:用符号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．性质：两边同加同减一个数或等式仍为等式;两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。
方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。
解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；
2．去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；
3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；
4．合并同类项：把方程化成ax=b
几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组
不等式基本性质：
不等式两边都加上同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．
一元一次不等式的解法步骤：去分母去括号移项合并同类项系数化成1
一元一次不等式组的解法步骤：分别求出不等式组中所有一元一次不等式的解集．
（2)在数轴上表示各个不等式的解集．写出不等式组的解集．
一元一次不等式组的四种情况：
知识点4
一元二次方程
基本概念：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程3×2+x-2=0的常数项是-2（任意）一次项系数为（任意），二次项是3（任意不为0）一元二次方程的求根公式：
一元二次方程的解法：
1．解一元二次方程的直接开平方法
如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，则根据平方根的概念可以用直接开平方法来解．
2．解一元二次方程的配方法
先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，可通过直接开平方法来求方程的解，也就是先配方再求解．
3．解一元二次方程的公式法
利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
4．解一元二次方程的因式分解法
在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，可先将一边分解成两个一次因式的积，再分别令每个因式为零，通过解一元一次方程，可求得原方程的解．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、已知方程x2-6x+q=0可以配方成（x-p）2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成下列的
A、（x-p）2=B、（x-p）2=9
、（x-p+2）2=9D、（x-p+2）2=
2、已知是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式2-的值等于
A、-1B、0、1D、2
3、若α、β是方程x2+2x-XX=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为
A、XXB、XX、-XXD、4010
4、关于x的方程x2+3x-1=0有实数根，则的取值范围是
A、≤-B、≥-且≠0
、≥-D、＞-且≠0
、关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是
A、x2+3x-2=0B、x2-3x+2=0
、x2-2x+3=0D、x2+3x+2=0
6、已知关于x的方程x2-（2-1）x+2=0有两个不相等的实根，那么的最大整数值是
A、-2B、-1、0D、1
7、某城XX年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到XX年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程正确的是
A、300（1+x）=363B、300（1+x）2=363
、300（1+2x）=363D、363（1-x）2=300
8、甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3和，乙把常数项看错了，解得两根为2+和2-，则原方程是
A、x2+4x-1=0B、x2-4x+1=0
、x2+4x+1=0D、x2-4x-1=0
9、若方程x2+x+1=0和方程x2-x-=0有一个相同的实数根，则的值为
A、2B、0、-1D、
10、已知直角三角形x、两边的长满足|x2-4|+=0，则第三边长为
A、2或B、或2
、或2D、、2或
二、填空题（每小题3分，共30分）
11、若关于x的方程2×2-3x+=0的一个根是1，则另一个根是
12、一元二次方程x2-3x-2=0的解是
13、如果（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b的值是
14、等腰△AB中，B=8，AB、A的长是关于x的方程x2-10x+=0的两根，则的值是
1、XX年某市人均GDP约为XX年的12倍，如果该市每年的人均GDP增长率相同，那么增长率为
16、科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0618时，看起来最美，某成年女士身高为13，下肢长为92，该女士穿的高根鞋鞋根的最佳高度约为（精确到01）
17、一口井直径为2，用一根竹竿直深入井底，竹竿高出井口0，如果把竹竿斜深入井口，竹竿刚好与井口平，则井深为，竹竿长为
18、直角三角形的周长为2+，斜边上的中线为1，则此直角三角形的面积为
19、如果方程3×2-ax+a-3=0只有一个正根，则的值是
20、已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，则+的值为
三、解答题（共60分）
21、解方程（每小题3分，共12分）
（1）（x-）2=16（2）x2-4x+1=0
（3）x3-2×2-3x=0（4）x2+x+3=0
22、（8分）已知：x1、x2是关于x的方程x2+（2a-1）x+a2=0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值
23、（8分）已知：关于x的方程x2-2（+1）x+2=0
（1）当取何值时，方程有两个实数根？
（2）为选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根
24、（8分）已知一元二次方程x2-4x+=0有两个不相等的实数根
（1）求的取值范围
（2）如果是符合条的最大整数，且一元二次方程x2-4x+=0与x2+x-1=0有一个相同的根，求此时的值
2、（8分）已知a、b、分别是△AB中∠A、∠B、∠所对的边，且关于x的方程（-b）x2+2（b-a）x+（a-b）=0有两个相等的实数根，试判断△AB的形状
26、（8分）某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1202，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了14402
求：（1）该工程队第二天第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数
27、（分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出00千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克
不等式与不等式组
一、学习目标
1.认识不等式与不等式组；
2.解不等式；
二、知识点讲解
认识不等式与不等式组
不等式
定义
一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”表示大小关系的式子，叫作不等式。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。其中，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域。
整式不等式定义
整式不等式两边都是整式（即未知数不在分母上）。
一元一次不等式：含有一个未知数(即一元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。如3-x>0
同理，二元一次不等式：含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。
表示方法
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
性质
①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）
②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）
③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）
④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）
⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)
⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；
⑦如果x>y>0，x n>y n（n为正数)，x n<y n（n为负数）;
特殊性质
①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
总结
当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
定理口诀
解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图、建模、构造法。不等式组
定义
几个不等式联立起来，叫做不等式组。
注意
当有A<B<V类形式的不等式也算不等式组，叫做“连不等式”。解连不等式可把它拆成不等式组来求解。
典型例题、认识不等式与不等式组
1.题干：用不等式表示。
①x的2倍大于5；
②y与3的差小于8。
个人分析：不等式的定义是 。
答案：
①2x>5
②y-3<8
解析：一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”表示大小关系的式子，叫作不等式。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。其中，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域。
错因分析：
A.没有理解清楚定义
B.看错条件了
C.题目没读懂
练习
1.题干：下列说法不正确的是
A.不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
B.不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
C.不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向不变。
D.几个不等式联立起来，叫做不等式组。
个人分析：负数的定义是 ；
答案：C
解析：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
错因分析：
A.没有理解清楚定义
B.看错条件了
C.题目没读懂
解不等式与不等式组
不等式
定义
求不等式的解集，叫做解不等式。
相关性质
①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；
②如果x>y，y>z；那么x>z；
③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；
④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz;
⑤如果x>y，z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y，z<0,那么x÷z<y÷z。
⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n。
⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn。
⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数）。
如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以下是其中比较有名的。
⑨如果a>b，c>0,那么ac>bc。
如果a>b,c<0,那么ac<bc。
同解原理
①不等式F（x）< G（x）与不等式G（x）>F（x）同解。
②如果不等式F（x）< G（x）的定义域被解析式H（x ）的定义域所包含，那么不等式F（x）<G（x）与不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。
③如果不等式F（x）<G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）>0，那么不等式F(x)<G（x）与不等式H（x）F（x）<H（x ）G （x）同解；如果H（x）<0，那么不等式F（x）<G（x）与不等式H (x)F（x）>H （x）G（x）同解。
④不等式F（x）G（x）>0与不等式同解；不等式F（x）G（x）<0与不等式同解。
注意
1.符号：
不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。
2.确定解集：
比两个值都大，就比大的还大；
比两个值都小，就比小的还小；
比大的大，比小的小，无解；
比小的大，比大的小，有解在中间。
三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。
3.另外，也可以在数轴上确定解集：
把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。带等号的，数轴上的点是实心的，反之，就是空心的。
不等式组
步骤
1.审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及各个数量之间的关系；
2.设：只能设一个未知数，一般是与所求问题有直接关系的量；
3.找：找出题中所有的不等关系，特别是隐含的数量关系；
4.列：列出不等式组；
5.解：分别解出每个不等式的解集，再求其公共部分，最后得出结果；
6.答：根据所得结果作出回答。
典型例题、解不等式与不等式组
1.题干：解下列不等式。
①2x+4<10
②4x-2>6
个人分析：不等式的定义是 。
答案：
①2x+4<10
2x<6
x<3
②4x-2>6
4x>8
x>2
解析：求不等式的解集，叫做解不等式。
错因分析：
A.没有理解清楚定义
B.看错条件了
C.题目没读懂
函数与图像
一、定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx(k为常数，k≠0)
二、一次函数的性质：
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：
1.作法与图形：通过如下3个步骤
(1)列表;
(2)描点;
(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
2.性质：(1)在一次函数上的`任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：
当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b0时，直线必通过一、二象限;
当b=0时，直线通过原点
当b0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：
已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
六、常用公式：
1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
几何初步知识
一、定义与命题
1.定义：对术语和名称的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.如“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离的定义.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题，每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题一般写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
3.真命题、假命题与反例
真命题：正确的命题称为真命题.
假命题：不正确的命题称为假命题.
反例：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一二例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这个例子称为反例.
4.公理、定理、证明
公理：人们公认的真命题称为公理.
定理：经过证明了的真命题称为定理.
证明：推理的过程称为证明.
例1在下列命题中，真命题是.
A.两个钝角三角形一定相似
B.两个等腰三角形一定相似
C.两个直角三角形一定相似
D.两个等边三角形一定相似
析解：本题是和三角形相似的有关命题的识别，真命题就是条件成立，结论正确的命题.两个三角形是否相似，主要看是否满足下列相似的条件之一：①有两组对应角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似.所给的选项中只有两个等边三角形满足以上条件.所以选（D）.
说明：和命题有关的试题，多以选择题的形式出现，以判断真假命题类型题为主要形式.
二、平行线的判定和性质
1.平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行.
2.平行线的判定定理1：同旁内角互补，两直线平行.
3.平行线的判定定理2：内错角相等，两直线平行.
平行线的性质公理：两直线平行，同位角相等.
4.平行线的性质定理1：两直线平行，内错角相等.
平行线的性质定理2：两直线平行，同旁内角互补.
注意：对于平行线的判定与性质，一定不要混淆它们的条件和结论，平行线的条件是由角的数量关系来确定直线的位置关系，平行线的性质是由平行线的位置关系来确定角的数量关系.对平行线的判定而言，“两直线平行”是结论，对平行线的性质而言，“两直线平行”是条件.因此，不能随便说“同位角相等”“同旁内角互补”.
例2如图1，，分别交于，，平分，交于.求∠1的度数.
分析：要求∠1的度数，根据两直线平行可得，所以只要根据已知条件求出的度数即可.
解：因为，
所以（两直线平行，内错角相等）.
又，平分，
所以.
所以.
说明：根据平行条件求角的度数，一般借助平行线的性质（两直线平行，同位角相等，内错角相等或同旁内角互补）解决问题，有时还要用到三角形的外角性质等.
三、三角形内角和定理
探究三角形内角和定理时，将三角形的三个内角“凑”在一起，拼成一个平角，从而得到三角形的内角和等于180°，这里体现了一种重要的数学思想——转化思想.三角形内角和定理的证明方法较多，除了转化为平角证明外，还可以利用“构造周角”的方法以及“两直线平行，同旁内角互补”的方法解析证明.
例3如图2，已知中，，于，是上一点.求证：.
分析：与没有直接的联系，但、都与有关，因此可以用作中间量进行过渡.
证明：在中，，
因为，所以，
在中，，
所以，
所以.
因为（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），
所以.
说明：证明角的不等关系式时一般用到三角形的外角与三角形的内角的关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
四、三角形的外角
三角形内角和定理的两个推论是：
推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2 三角形的一个外角等于任何一个和它不相邻的内角.
关于三角形外角的重要结论是三角形内角和定理的推论.第一个推论反映了一个外角与它不相邻的两个的相等关系，应用在证明或计算内角与外角的大小问题中；第二个推论反映了一个外角与它不相邻的内角的不等关系，用于证明和三角形有关的角的不等关系问题中.
例4如图3，点P是△ABC内的一点，连接BP、CP.
求证：∠BPC>∠BAC.
分析：要求证明∠BPC>∠BAC，通常有两种方法：一是找到第三个角，利用不等式的传递性得证；二是将∠BPC和∠BAC都分成两个角，利用同向不等式的和所得不等式仍然成立来证明.
证法一：如图3（1）所示，延长BP交AC于点D.
由于∠BPC是△DPC的外角，所以∠BPC>∠CDP.
由于∠CDP是△ABD的外角，所以∠CDP>∠BAC.
所以∠BPC>BAC.
证法二：如图3（2）所示，连接AP并延长AP.
因为∠1是△ABP的外角，所以∠1>∠3.
因为∠2是△APC的外角，所以∠2>∠4.
所以∠1+∠2>∠3+∠4.
又因为∠1+∠2=∠BPC，∠3+∠4=∠BAC，
所以∠BPC>∠BAC.
点评：要证角的不等关系，一般地将大角转化为某三角形的外角，将小角转化为某三角形的内角.解决本题的关键是通过添加辅助线以达到此目的.
练习
1、写出下列命题的条件和结论.
（1）如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.
（2）对顶角相等.
2、如图，在△AFD和△BEC中，点A，E，F，C在同一直线上，有下面4个论断：①AD=CB；②BE=DF；③∠B=∠D；④AD//BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个真命题，并证明.
3、在△ABC中，∠B-∠C=40°，∠A=80°，求∠A、∠B、∠C的度数，并判断△ABC的形状？
4、如图，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3= .
参考答案
1、解析：（1）命题一般写成“如果A，那么B”的形式，A部分为条件，B部分为结论，所以（1）中的条件“一个三角形中有两条边相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”.
（2）对于命题本身不含“如果”，“那么”词语，此时需将其改写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论，便不易错，所以（2）中可改成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，故条件为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”.
2、分析：本题是一道开放性问题，在写命题时，要根据题意找一个比较简单的，这样解答起来也较容易.
解：如，已知：BE=DF，∠B=∠D，AD=CB.
求证：AD//BC.
证明：因为AD=CB，∠B=∠D，BE=DF，
所以△ADF≌△CBE.
所以∠A=∠C，所以AD//BC.
3、分析：利用隐含条件：三角形的三个内角和等于180°.构造方程求解.
解：因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°，
所以∠B+∠C=100°，又∠B-∠C=40°，
所以∠B=70°，∠C=30°，
所以△ABC为锐角三角形.
4、分析：观察图形可知，欲求∠3的度数，可先求∠4的度数，这只要利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可.
解：因为∠1=100°，所以∠4=1800°-∠1=70°.
又∠2=∠3+∠4.
所以∠3=∠2-∠4=140°-70°=70°.
全等三角形
全等三角形的性质
对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等。
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
（3）有公共边的，公共边常是对应边。
（4）有公共角的，公共角常是对应角。
（5）有对顶角的，对顶角常是对应角。
（6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。
【解题关键】要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键。
全等三角形的判定方法
（1）边角边定理（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（2）角边角定理（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）边边边定理（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
（4）角角边定理（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边、直角边定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
全等三形的应用
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。
【拓展】通过判定两个三角形全等，可证明两条线段间的位置关系和大小关系。而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础。
找全等三角形的方法
（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；
（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；
（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法
①延长中线构造全等三角形；
②利用翻折，构造全等三角形；
③引平行线构造全等三角形；
④作连线构造等腰三角形。
（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
【例1】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。
【题意分析】本题考查“等腰三角形的三线合一”定理的应用。
【解题思路】要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和“等腰三角形的三线合一”定理结合起来。
【解答过程】
【点拨】等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。
（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
【例2】如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：△ABC是等腰三角形。
【题意分析】本题考查全等三角形常见辅助线的知识。
【解题思路】在证明三角形的问题中，特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了“AD又是BC边上的中线”这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。
【解答过程】
【点拨】题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
【例3】已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB＞AD。求证：∠B+∠ADC=180°。
【题意分析】本题考查角平分线定理的应用。
【解题思路】因为AC是∠BAD的平分线，所以可过点C作∠BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。
【解答过程】
【点拨】
①关于角平行线的问题，常用两种辅助线：
②见中点即联想到中位线。
（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
【例4】如图，△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF，求证：DE=DF。
【题意分析】本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。
【解题思路】因为DE、DF所在的两个三角形△DEB与△DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换。过E作EG//CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。
【解答过程】
【点拨】此题的辅助线还有以下几种作法：
【归纳】添加辅助线的目的在于构造全等三角形，而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的。不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。
（5）截长法与补短法：具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
【例5】如图甲，AD//BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证：CD=AD+BC。
【题意分析】本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。
【解题思路】结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
【解答过程】
证明：在CD上截取CF=BC，如图乙
轴对称和轴对称图形
【知识脉络】
【基础知识】
Ⅰ. 轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图
形，这条直线就是它的对称轴.
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉
及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.
联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果
把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
（4）线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
Ⅱ. 作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2.用坐标表示轴对称
点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.
Ⅲ. 等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
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