六、(10分)设
阶方阵 满足: 每行元素之和都等于 , 并且 . 试求 的所有代数余子式之和 .
解法一 (矩阵性质)设
, 则由条件可知 . 由于 是非异阵, 故 (否则由 可推出 , 矛盾), 于是 . 注意到 , 故 , 即 的每行元素之和都等于 , 从而 .
解法二 (行列式性质)将行列式
的第 列之外的其他列全部加到第 列上, 则由条件和行列式的性质可得:
右边的行列式按照第
列进行展开, 可得
于是
, 从而 .
解法三 (行列式模板)采用与高代白皮书例 1.32 相同的记号, 则有
注意到
的每行元素之和都等于零, 从而它是奇异阵, 于是
由此即得
.
解法四 (降阶公式)设
, 则由降阶公式或高代白皮书的例 1.8 可得
另一方面, 将左边行列式的前
列全部加到第 列上, 可得
由此即得
.
注本题是高代白皮书例 2.22 的自然延伸. 如果大家去对比一下 19 级高代 I 每周一题第 7 题, 就不难发现:数学问题经过适当的抽象之后, 往往更容易看清楚问题的本质, 从而可以得到更加简洁的解法或证法.
高等代数期末考试题库及答案_复旦大学--学年第一学期19级高等代数I期末考试第六大题...
