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函数函数的有界性函数的单调性函数的奇偶性函数的周期性取整函数反函数复合函数基本初等函数初等函数数列的定义数列极限收敛数列的性质函数极限函数极限的性质更新中 p7_1/3

函数

定义

如果对于每个数 x ∈ D x \in D x∈D，变量按照一定的法则总有一个确定的 y y y 和它对应，则称 x x x 是 y y y 的函数，记为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，其中： x x x 为自变量，D D D 是定义域，是 x x x 的取值范围，记作 D f D_f Df​ 或 D D Dy y y 为因变量，f ( D ) f(D) f(D) 是值域，是 y y y 的取值范围，记作 R f R_f Rf​ 或 f ( D ) f(D) f(D)推理 x x x 对应的 y y y 只能有一个， y y y 对应的 x x x 可以有多个函数有三个要素（定义域、值域、对应法则），其中最关键的是定义域和对应法则，因为定义域和对应法则确定后，值域就确定了，定义域和对应法则决定了值域

函数的有界性

定义

设 X ⊂ D : X \subset D: X⊂D: 若函数有上界，则

∀ x ∈ X , f ( x ) ⩽ M \forall x \in X,f(x) \leqslant M ∀x∈X,f(x)⩽M若函数有下界，则

∀ x ∈ X , f ( x ) ⩾ M \forall x \in X,f(x) \geqslant M ∀x∈X,f(x)⩾M若函数有界（既有上界又有下界），则

∀ x ∈ X , ∣ f ( x ) ∣ ⩽ M \forall x \in X,|f(x)| \leqslant M ∀x∈X,∣f(x)∣⩽M

即： − M ⩽ f ( x ) ⩽ M -M \leqslant f(x) \leqslant M −M⩽f(x)⩽M若函数无界，则

∀ M > 0 , ∃ x 0 ∈ X , 使 ∣ f ( x 0 ) ∣ > M \forall M > 0, \exists x_0 \in X, 使 |f(x_0)|>M ∀M>0,∃x0​∈X,使∣f(x0​)∣>M

函数的单调性

定义

设区间 I ⊂ D : I \subset D: I⊂D: 若函数单调增，则：

∀ x 1 , x 2 ∈ I , 当 x 1 < x 2 时，恒有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) \forall x_1,x_2 \in I,当 x_1 < x_2 时，恒有 f(x_1)<f(x_2) ∀x1​,x2​∈I,当x1​<x2​时，恒有f(x1​)<f(x2​)若函数单调减，则：

∀ x 1 , x 2 ∈ I , 当 x 1 < x 2 时，恒有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ) \forall x_1,x_2 \in I,当 x_1 < x_2 时，恒有 f(x_1)>f(x_2) ∀x1​,x2​∈I,当x1​<x2​时，恒有f(x1​)>f(x2​)

函数的奇偶性

定义：

设 D D D 关于原点对称：

若函数为偶函数，则：

∀ x ∈ D , f ( − x ) = f ( x ) \forall x \in D,f(-x)=f(x) ∀x∈D,f(−x)=f(x)若函数为奇函数，则：

∀ x ∈ D , f ( − x ) = − f ( x ) \forall x \in D, f(-x)=-f(x) ∀x∈D,f(−x)=−f(x)

推理：

偶函数图形关于 y y y轴对称奇函数图形关于 x x x轴对称，且若 f ( x ) 在 x = 0 f(x) 在 x=0 f(x)在x=0 处有定义，则 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f(0)=0

函数的周期性

定义：

若存在实数 T > 0 T>0 T>0，对于任意 x x x，恒有 f ( x + T ) = f ( x ) f(x+T)=f(x) f(x+T)=f(x) 则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 为周期函数，使得上式成立的最小正数 T T T 称为最小正周期，简称为函数 f ( x ) f(x) f(x) 的周期推理：周期函数不一定都有最小正周期，比如 y = C y=C y=C （ C C C是任意常数）

取整函数

定义

y = [ x ] y=[x] y=[x]

举例：

[ 3.2 ] = 3 [3.2]=3 [3.2]=3

[ − 3.2 ] = − 4 [-3.2]=-4 [−3.2]=−4

推理：

x − 1 < [ x ] ⩽ x x-1 < [x] \leqslant x x−1<[x]⩽x

反函数

定义

设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的定义域为 D D D，值域为 R y R_y Ry​，若对任意 y ∈ R y y \in R_y y∈Ry​，有唯一确定的 x ∈ D x \in D x∈D，使得 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，则记为 x = f − 1 ( y ) x=f^{-1}(y) x=f−1(y) 称其未函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的反函数。通俗解释

y y y 与 x x x 的映射必须一一对应推理 x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) x_1 \not = x_2 \Rightarrow f(x_1) \not = f(x_2) x1​=x2​⇒f(x1​)=f(x2​)函数与反函数图像关于 y = x y=x y=x 对称 求一个函数的反函数方法（例如求 y = x 3 y=x^3 y=x3 的反函数） 反求一个函数： y = x 3 ⇒ x = y 1 3 y=x^3 \Rightarrow x=y^{\frac{1}{3}} y=x3⇒x=y31​将自变量与因变量对调： x = y 1 3 x=y^{\frac{1}{3}} x=y31​ 变成 y = x 1 3 y=x^{\frac{1}{3}} y=x31​

复合函数

定义

设 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u) 的定义域为 D f D_f Df​， u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) 的定义域为 D g D_g Dg​ 值域为 R g R_g Rg​，若 D f ∩ R g ≠ ∅ D_f \cap R_g \not = \varnothing Df​∩Rg​=∅，则称函数 y = f [ g ( x ) ] y=f[g(x)] y=f[g(x)] 为函数 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u) 与 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) 的复合函数通俗解释

内层函数的值域与外层函数的定义域必须有交集推理：复合后的定义域为 { x ∣ x ∈ D g , g ( x ) ∈ D f } \set{ x|x \in D_g, g(x) \in D_f } {x∣x∈Dg​,g(x)∈Df​}，即 x x x 属于内层函数定义域 D g D_g Dg​ 且内层函数的值域 g ( x ) g(x) g(x) 属于外层函数的定义域 D f D_f Df​复合后的定义域 最大为内层函数 g ( x ) g(x) g(x) 的定义域 f ( x ) = g ( x ) + g ( − x ) f(x) = g(x)+g(-x) f(x)=g(x)+g(−x) 是偶函数（将 x x x 带入 − x -x −x 得到的结果 = = = 原函数，说明函数关于 y y y 轴对称，是偶函数） f ( x ) = g ( x ) − g ( − x ) f(x) = g(x)-g(-x) f(x)=g(x)−g(−x) 是奇函数（将 x x x 带入 − x -x −x 得到的结果 = − =- =− 原函数，说明函数关于原点轴对称，是奇函数）

基本初等函数

幂函数： y = x a , ( a 为实数 ) y=x^a,(a为实数) y=xa,(a为实数)指数函数： y = a x , ( a > 0 , a ≠ 1 ) y=a^x,(a>0, a \not=1) y=ax,(a>0,a=1)对数函数： y = l o g a x , ( a > 0 , a ≠ 1 ) y=log_a^x,(a>0,a \not=1) y=logax​,(a>0,a=1)三角函数： y = s i n x y=sinx y=sinx ; y = c o s x y=cosx y=cosx ; y = t a n x y=tanx y=tanx ; y = c o t x y=cotx y=cotx反三角函数： y = a r c s i n x y=arcsinx y=arcsinx ; y = a r c c o s x y=arccosx y=arccosx ; y = a r c t a n x y=arctanx y=arctanx

初等函数

定义 由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到的函数能用一个解析式表示的函数

数列的定义

数列就是一串有序的实数，是一种特殊的函数（整标函数），其自变量取正整数

数列极限

定义

∀ ε > 0 , ∃ N , 当 n > N 时 , 有 ∣ x n − a ∣ < ε \forall \varepsilon > 0, \exists N,当 n>N时, 有|x_n-a|<\varepsilon ∀ε>0,∃N,当n>N时,有∣xn​−a∣<ε

其中 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<\varepsilon ∣xn​−a∣<ε

等于 x n ∈ U ( a , ε ) x_n \in U(a,\varepsilon) xn​∈U(a,ε)

等于 x n x_n xn​ 属于 a a a 点的去心邻域通俗解释

设数列有极限且极限为 a a a，则对于任意一个大于0的值 ε \varepsilon ε，都存在一个对应的项数，使这个项数之后的数列值 x n x_n xn​ 永远在 ( a − ε , a + ε ) (a-\varepsilon,a+\varepsilon) (a−ε,a+ε) 之间应用

用于证明数列 x n x_n xn​ 是否以 a a a 为极限，利用 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<\varepsilon ∣xn​−a∣<ε找出 n n n 的最大值 N N N， N N N 存在说明 x n x_n xn​ 以 a a a 为极限，否则不以 a a a 为极限

收敛数列的性质

唯一性：收敛数列的极限是唯一的有界性：收敛数列必有界，有界数列不一定收敛（无界数列一定发散，发散数列不一定无界）保号性： 从极限值保数列项的值（不包含0）

若 lim ⁡ n ⇀ ∞ x n = a ，且 a > 0 ( 或 a < 0 ) ，则 ∃ N , 当 n > N 时，都有 x n > 0 ( 或 x n < 0 ) 若 \lim\limits_{n \rightharpoonup \infin}x_n=a，且 a>0(或a<0)，则 \exists N, 当 n>N时，都有x_n>0(或x_n<0) 若n⇀∞lim​xn​=a，且a>0(或a<0)，则∃N,当n>N时，都有xn​>0(或xn​<0)

通俗解释：当函数极限为正（负）时，一定存在某一项数，使该项之后的数列值都为正（负）从数列项的值保极限值（包含0）

如果存在 N > 0 , 当 n > N 时， x n ⩾ 0 ( 或 x n ⩽ 0 ) , 则 a ⩾ 0 ( 或 a ⩽ 0 ) 如果存在 N>0,当n>N时，x_n \geqslant 0(或 x_n \leqslant 0),则 a \geqslant 0(或 a \leqslant 0) 如果存在N>0,当n>N时，xn​⩾0(或xn​⩽0),则a⩾0(或a⩽0)

通俗解释：当某项之后的数列全都为非负（非正）时，极限也为非负（非正）收敛数列与其子列之间的关系

以 x n x_n xn​ 的子列 x 2 k − 1 x_{2k-1} x2k−1​ 和 x 2 k x_{2k} x2k​ 为例：

可以推出： lim ⁡ n ⇀ ∞ x n = a ⇔ lim ⁡ n ⇀ ∞ x 2 k − 1 = lim ⁡ n ⇀ ∞ x 2 k = a \lim\limits_{n \rightharpoonup \infin}x_n=a \Harr \lim\limits_{n \rightharpoonup \infin}x_{2k-1}=\lim\limits_{n \rightharpoonup \infin}x_{2k}=a n⇀∞lim​xn​=a⇔n⇀∞lim​x2k−1​=n⇀∞lim​x2k​=a

通俗解释：数列极限为 a a a 时可以推出其每个子列极限都为 a a a，数列的每个子列极限都相等且为 a a a时可以推出数列的极限为 a a a

函数极限

自变量趋向有限值时函数的极限极限（ x x x 从左、右两边的任意一边逼近 x 0 x_0 x0​）

lim ⁡ x ⇀ x 0 f ( x ) = A \lim\limits_{x \rightharpoonup x_0}f(x)=A x⇀x0​lim​f(x)=A

∀ ε > 0 ， ∃ θ > 0 \forall \varepsilon>0，\exists \theta>0 ∀ε>0，∃θ>0， 当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < θ 0<|x-x_0|<\theta 0<∣x−x0​∣<θ 时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε左极限（ x x x 从左边逼近 x 0 x_0 x0​）

lim ⁡ x ⇀ x 0 f ( x ) = f ( x 0 − ) = f ( x 0 − 0 ) \lim\limits_{x \rightharpoonup x_0}f(x)=f(x_0^-)=f(x_0-0) x⇀x0​lim​f(x)=f(x0−​)=f(x0​−0)

∀ ε > 0 ， ∃ θ > 0 \forall \varepsilon>0，\exists \theta>0 ∀ε>0，∃θ>0 ，当 0 < x 0 − x < θ 0<x_0-x<\theta 0<x0​−x<θ 时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε右极限（ x x x 从右边逼近 x 0 x_0 x0​）

lim ⁡ x ⇀ x 0 f ( x ) = f ( x 0 + ) = f ( x 0 + 0 ) \lim\limits_{x \rightharpoonup x_0}f(x)=f(x_0^+)=f(x_0+0) x⇀x0​lim​f(x)=f(x0+​)=f(x0​+0)

∀ ε > 0 ， ∃ θ > 0 \forall \varepsilon>0，\exists \theta>0 ∀ε>0，∃θ>0， 当 0 < x − x 0 < θ 0<x-x_0<\theta 0<x−x0​<θ 时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε函数极限与其左、右极限之间的关系

lim ⁡ x ⇀ x 0 f ( x ) = A ⇔ lim ⁡ x ⇀ x 0 + f ( x ) = lim ⁡ x ⇀ x 0 − f ( x ) = A \lim\limits_{x \rightharpoonup x_0}f(x)=A \Harr \lim\limits_{x \rightharpoonup x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x \rightharpoonup x_0^-}f(x)=A x⇀x0​lim​f(x)=A⇔x⇀x0+​lim​f(x)=x⇀x0−​lim​f(x)=A

通俗解释：函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x x x趋向 x 0 x_0 x0​时极限为 A A A，可以推出 函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x x x趋向 x 0 x_0 x0​时其左、右极限相等且都为A，反之，函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x x x趋向 x 0 x_0 x0​时左、右极限相等且都为 A A A，可以推出 函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x x x趋向 x 0 x_0 x0​时极限为 A A A自变量趋于无穷大时函数的极限趋于无穷时

lim ⁡ x ⇀ ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x \rightharpoonup \infin}f(x)=A x⇀∞lim​f(x)=A

∀ ε > 0 ， ∃ X > 0 \forall \varepsilon>0，\exists X>0 ∀ε>0，∃X>0，当 ∣ x ∣ > X |x|>X ∣x∣>X 时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε趋于正无穷时

lim ⁡ x ⇀ + ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x \rightharpoonup +\infin}f(x)=A x⇀+∞lim​f(x)=A

∀ ε > 0 ， ∃ X > 0 \forall \varepsilon>0，\exists X>0 ∀ε>0，∃X>0，当 x > X x>X x>X 时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε趋于负无穷时

lim ⁡ x ⇀ − ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x \rightharpoonup -\infin}f(x)=A x⇀−∞lim​f(x)=A

∀ ε > 0 ， ∃ X > 0 \forall \varepsilon>0，\exists X>0 ∀ε>0，∃X>0，当 x < − X x<-X x<−X 时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε趋于无穷时与趋于正、负无穷之间的关系

lim ⁡ x ⇀ ∞ f ( x ) = A ⇔ lim ⁡ x ⇀ + ∞ f ( x ) = lim ⁡ x ⇀ − ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x \rightharpoonup \infin}f(x)=A \Harr \lim\limits_{x \rightharpoonup +\infin}f(x)=\lim\limits_{x \rightharpoonup -\infin}f(x)=A x⇀∞lim​f(x)=A⇔x⇀+∞lim​f(x)=x⇀−∞lim​f(x)=A

通俗解释：函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x x x 趋向无穷时极限为 A A A ，可以推出函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x x x 趋向正、负无穷时极限相等且为 A A A，反之，函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x x x 趋向正、负无穷时极限相等且为 A A A，可以推出函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x x x 趋向无穷时极限为 A A A

函数极限的性质

唯一性：

如果一个函数在某一点 x 0 x_0 x0​ 有极限，那么在 lim ⁡ x ⇀ x 0 f ( x ) \lim\limits_{x \rightharpoonup x_0}f(x) x⇀x0​lim​f(x) 时极限唯一局部有界性

函数在某一点 x 0 x_0 x0​ 有极限，就可以推出函数 f ( x ) f(x) f(x) 在关于 x 0 x_0 x0​ 点的去心领域局部有界，反之不行

更新中 p7_1/3