证明n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量证明：必要性：已知A可以相似对角化，则存在可逆矩阵PP−1AP=(λ1λ2…λn)AP=P(λ1λ2…λn)对P的每列进行分块，有P=[x1∣x2∣…∣xn]，于是有A[x1∣x2∣…∣xn]=[x1∣x2∣…∣xn](λ1λ2…λn)[Ax1∣Ax2∣…∣Axn]=[λ1x1∣λ2x2∣…∣λnxn]有Axi=λixi因为P可逆，所以xi线性无关，可知A有n个线性无关特征向量充分性：已知A有n个线性无关的特征向量，Axi=λixi，xi线性无关有[Ax1∣Ax2∣…∣Axn]=[λ1x1∣λ2x2∣…∣λnxn]A[x1∣x2∣…∣xn]=[x1∣x2∣…∣xn](λ1λ2…λn)令P=[x1∣x2∣…∣xn]AP=P(λ1λ2…λn)P−1AP=(λ1λ2…λn)\begin{aligned} & 证明n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量\\ & 证明：\\ & 必要性：已知A可以相似对角化，则存在可逆矩阵P\\ & P^{-1}AP = \begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix}\\\\ & AP = P\begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix}\\ & 对P的每列进行分块，有P=[x_1|x_2|\dots|x_n]，于是有 \\\\ & A[x_1|x_2|\dots|x_n] = [x_1|x_2|\dots|x_n]\begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix}\\ & [Ax_1|Ax_2|\dots|Ax_n] = [\lambda_1x_1|\lambda_2x_2|\dots|\lambda_nx_n]\\ & 有Ax_i = \lambda_ixi\\ & 因为P可逆，所以x_i线性无关，可知A有n个线性无关特征向量\\ \\ & 充分性：已知A有n个线性无关的特征向量，Ax_i=\lambda_ix_i，x_i线性无关\\ & 有[Ax_1|Ax_2|\dots|Ax_n] = [\lambda_1x_1|\lambda_2x_2|\dots|\lambda_nx_n]\\ & A[x_1|x_2|\dots|x_n] = [x_1|x_2|\dots|x_n]\begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix} 令P=[x_1|x_2|\dots|x_n]\\\\ & AP = P\begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix}\\ & P^{-1}AP = \begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix} & \end{aligned} 证明n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量证明：必要性：已知A可以相似对角化，则存在可逆矩阵PP−1AP=⎝⎜⎜⎛λ1λ2…λn⎠⎟⎟⎞AP=P⎝⎜⎜⎛λ1λ2…λn⎠⎟⎟⎞对P的每列进行分块，有P=[x1∣x2∣…∣xn]，于是有A[x1∣x2∣…∣xn]=[x1∣x2∣…∣xn]⎝⎜⎜⎛λ1λ2…λn⎠⎟⎟⎞[Ax1∣Ax2∣…∣Axn]=[λ1x1∣λ2x2∣…∣λnxn]有Axi=λixi因为P可逆，所以xi线性无关，可知A有n个线性无关特征向量充分性：已知A有n个线性无关的特征向量，Axi=λixi，xi线性无关有[Ax1∣Ax2∣…∣Axn]=[λ1x1∣λ2x2∣…∣λnxn]A[x1∣x2∣…∣xn]=[x1∣x2∣…∣xn]⎝⎜⎜⎛λ1λ2…λn⎠⎟⎟⎞令P=[x1∣x2∣…∣xn]AP=P⎝⎜⎜⎛λ1λ2…λn⎠⎟⎟⎞P−1AP=⎝⎜⎜⎛λ1λ2…λn⎠⎟⎟⎞
