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【XJTUSE计算机图形学】第三章 几何造型技术(1)——参数曲线和曲面参数曲线和曲面曲线曲面参数表示非参数表示参数表示曲线的基本概念插值、拟合和光顺(掌握概念)参数化概念参数化常用方法参数区间的规格化参数曲线的代数和几何形式(了解一下)代数形式几何形式连续性引进几何连续的重要性举例说明参数曲面基本概念【XJTUSE计算机图形学】第三章 几何造型技术(1)——参数曲线和曲面
几何造型技术
研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术；
70年代，已有不少实用化系统；
已应用于航空航天、汽车、机械、造船、建筑和电子等领域。
描述物体的三维模型:线框模型、曲面模型、实体模型。
线框模型: 利用形体的顶点和棱边来表示物体。
曲面模型：通过有向棱边构成形体的表面，用面的几何表达相应的形体。
实体模型：定义一些基本体素，并通过集合运算将它们组合成复杂的几何形体。
参数曲线和曲面
曲线曲面参数表示
非参数表示
显式表示:y=f(x)，无法表示封闭或多值曲线，如圆。
隐式表示:f(x,y)=0，易于判断函数值与零的关系，确定点与曲线的关系。
存在下述问题：
与坐标轴相关；
会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)。
参数表示
参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数
平面曲线上任一点P: P(t)=[x(t),y(t)]P(t)=[x(t),y(t)]P(t)=[x(t),y(t)]
空间曲线上任一三维点P: P(t)=[x(t),y(t),z(t)]P(t)=[x(t),y(t),z(t)]P(t)=[x(t),y(t),z(t)]
参数表示例子：
直线：P(t)=P1+(P2−P1)tP(t)=P_1+(P_2-P_1)tP(t)=P1+(P2−P1)t
圆：P(t)=[1−t21+t2,2t1+t2]P(t)=[\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}]P(t)=[1+t21−t2,1+t22t]
参数表示的优点：
满足几何不变性的要求；
有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状；
对参数方程进行几何变换即实现对曲线(面)的变换；
便于处理斜率为无穷大的情形；
参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，且对变量个数不限，便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去；
规格化的参数变量t∈[0,1]，使其相应的几何分量是有界的，不必用另外的参数去定义边界；
易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。
曲线的基本概念
1️⃣三维曲线
用参数表示的三维曲线是一个有界的点集，可以表示成一个带参数的、连续的和单值的数学函数：
{x=x(t)y=y(t),0≤t≤1z=z(t)\left\{ \begin{array}{lc} x=x(t) \\ y=y(t),\quad 0\le t\le 1\\ z=z(t) \end{array} \right. ⎩⎨⎧x=x(t)y=y(t),0≤t≤1z=z(t)
2️⃣位置矢量
曲线上任一点的位置矢量可表示为：P(t)=[x(t),y(t),z(t)]P(t)=[x(t),y(t),z(t)]P(t)=[x(t),y(t),z(t)]
如存在k阶导数矢量，则：Pk(t)=dkPdtkP^k(t)=\frac{d^kP}{dt^k}Pk(t)=dtkdkP
3️⃣切矢量
选择弧长s作为参数，则 $T=\frac{dP}{ds}=\underset{\Delta s \to0}{\lim}\frac{\Delta P}{\Delta s} $ 是单位切矢量
根据弧长微分公式有：
于是有dPds=dPdt.dtds=P′(t)∣P′(t)∣\frac{dP}{ds}=\frac{dP}{dt}.\frac{dt}{ds}=\frac{P'(t)}{|P'(t)|}dsdP=dtdP.dsdt=∣P′(t)∣P′(t)
即T为单位矢量
4️⃣法矢量
所有垂直于切矢量T的矢量有一束，且位于法平面上
dTds\frac{dT}{ds}dsdT是与T垂直的矢量；与dTds\frac{dT}{ds}dsdT平行的法矢称为曲线在该点的主法矢(N)
矢量积 B=T×NB=T\times NB=T×N 是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢量；
可以推导出：
T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架；
N、B构成的平面称为法平面，N、T构成的平面称为密切平面，B、T构成的平面称为从切平面。
5️⃣ 曲率和挠率
圆的半径越小，曲率越大
插值、拟合和光顺(掌握概念)
1️⃣插值: 给定一组有序的数据点Pi构造一条曲线顺序通过这些数据点，所构造的曲线称为插值曲线。
线性插值：y=ax+by=ax+by=ax+b
抛物线插值：φ(x)=ax2+bx+c\varphi(x)=ax^2+bx+cφ(x)=ax2+bx+c
2️⃣拟合：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，所构造的曲线为拟合曲线。
3️⃣逼近:在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中，逼近继承了这方面的含义
包含插值和拟合
4️⃣过拟合：模型在训练集上效果很好，在测试集上效果差(不考)
5️⃣光顺(Fairing)：指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是：
a. 具有二阶几何连续性(G2)
b. 不存在多余拐点和奇异点；
c. 曲率变化较小。
参数化
概念
过三点P0、P1和P2构造参数表示的插值多项式可以有无数条：
对应地参数t, 在[0,1]区间中有无数种取法；
参数值称为节点(knot)。
对于一条插值曲线，型值点P0,P1,...,PnP_0,P_1,...,P_nP0,P1,...,Pn与其参数域t∈[t0,tn]t\in[t_0,t_n]t∈[t0,tn]内的节点之间有一种对应关系：
对于一组有序的型值点，所确定一种参数分割，称之为这组型值点的参数化。
参数化常用方法
1️⃣ 均匀参数化(等距参数化)；
节点在参数轴上呈等距分布, ti+1=ti+正常数t_{i+1}=t_i+正常数ti+1=ti+正常数。
2️⃣ 累加弦长参数化；
反映型值点按弦长的分布情况；
能克服均匀参数化所出现的问题。
3️⃣ 向心参数化法；
4️⃣ 修正弦长参数化法。
参数区间的规格化
我们通常将参数区间[t0,tn][t_0,t_n][t0,tn]规格化为[0,1]，[t0,tn]≠[0,1][t_0,t_n]\not = [0,1][t0,tn]=[0,1]，只需对参数化区间作如下处理：
t0=0,ti=titn,i=0,1,...,nt_0=0,\ t_i=\frac{t_i}{t_n},\ i=0,1,...,n t0=0,ti=tnti,i=0,1,...,n
参数曲线的代数和几何形式(了解一下)
以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式
代数形式
上述代数式写成矢量式是
几何形式
对三次参数曲线，可用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢P¢(0)、P‘(1)描述。
将P(0)、P(1)、P’(0)和P‘(1)简记为P0、P1、P‘0和P’1，代入
，得
令
简化为
上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式
•几何系数：$ P_0、P_1、P’_0和P’_1$
•调和系数：F0、F1、G0、G1F_0、F_1、G_0、G_1F0、F1、G0、G1
参数F0,F1F_0,F_1F0,F1专门控制端点的函数值对曲线的影响；
参数G0,G1G_0,G_1G0,G1专门控制端点的一阶导数值对曲线的影响。
连续性
设计制造时，组合多段曲线，因此需要解决曲线段之间的光滑连接问题。
曲线间连接的光滑度的度量(会考概念)
参数连续性：组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，称为n阶参数连续性CnC^nCn
几何连续性：组合曲线在连接处满足不同于CnC^nCn的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性GnG^nGn。
介于n-1阶参数连续性和n阶参数连续性之间
同阶参数连续性的要求比几何连续性高
引进几何连续的重要性
🏷举例
第Φ(t)\Phi(t)Φ(t)在[0,2]上表示一条连接V0,V1V_0,V_1V0,V1的直线段；
左右导数不等: Φ(1−)=13(V1−V0),Φ(1+)=23(V1−V0)\Phi(1^-)=\frac{1}{3}(V_1-V_0),\ \Phi(1^+)=\frac{2}{3}(V_1-V_0)Φ(1−)=31(V1−V0),Φ(1+)=32(V1−V0)
参数连续描述光滑性不恰当。
举例说明
对于参数t∈[0,1]t\in [0,1]t∈[0,1]的两条曲线P(t)和Q(t)
1️⃣ 若要求在结合处达到C0C^0C0连续或G0G^0G0连续，即两曲线在结合处位置连续：P(1)=Q(0)P(1)=Q(0)P(1)=Q(0)
2️⃣ 若要求在结合处达到G1G^1G1连续，就是说两条曲线在结合处在满足G0G^0G0连续的条件下，并有公共的切矢
Q′(0)=αP′(1)(α>0)Q'(0)=\alpha P'(1)\qquad (\alpha >0) Q′(0)=αP′(1)(α>0)
当α=1\alpha = 1α=1时， G1G^1G1连续就成为C1C^1C1 连续
若P和Q在连接处已有C0C1C^0 C^1C0C1连续性且曲率的大小和方向均相等，即P′′(1)=Q′′(0)P''(1)=Q''(0)P′′(1)=Q′′(0)则P和Q在连接处具有C2C^2C2连续
若P和Q在连接处已有C0C1C^0 C^1C0C1连续性且曲率的大小不相等但方向相等，则P和Q在连接处具有G2G^2G2连续。
3️⃣ 若要求在结合处达到G2G^2G2连续，就是说两条曲线在结合处在满足G1G^1G1连续的条件下，并有公共的曲率矢：
这个关系可写为
β\betaβ为任意常数，当α=1,β=0\alpha =1 , \beta = 0α=1,β=0时，G2G^2G2连续就成了C2C^2C2连续
参数曲面基本概念
一张定义在矩形域上的参数曲面可以表示为
可记为
曲面上的点：将给定的参数值u0,v0u_0,v_0u0,v0代入参数方程，可得曲面上的点P(u0,v0)P(u_0,v_0)P(u0,v0)
曲面上一点的切向量(切矢)：
∂P(u,v)∂u∣u=u0,v=v0∂P(u,v)∂v∣u=u0,v=v0\frac{\partial{}P(u,v)}{\partial{}u}|u=u_0,v=v_0 \qquad \frac{\partial{}P(u,v)}{\partial{}v}|u=u_0,v=v_0 ∂u∂P(u,v)∣u=u0,v=v0∂v∂P(u,v)∣u=u0,v=v0
曲面上一点的法向(法矢)：
角点：P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)
边界线：P(u,0),P(u,1),P(0,w),P(1,w)P(u,0),P(u,1),P(0,w),P(1,w)P(u,0),P(u,1),P(0,w),P(1,w)
