高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结.pdf
高中数学必修高中数学必修 选修知识点归纳选修知识点归纳 引言引言 1 1 课程内容 课程内容 必修课程必修课程由 5 个模块组成 必修必修 1 1 集合 函数概念与基本初等函数 指 集合 函数概念与基本初等函数 指 对 幂函数 对 幂函数 必修必修 2 2 立体几何初步 平面解析几何初步 立体几何初步 平面解析几何初步 必修必修 3 3 算法初步 统计 概率 算法初步 统计 概率 必修必修 4 4 基本初等函数 三角函数 平面向量 基本初等函数 三角函数 平面向量 三角恒等变换 三角恒等变换 必修必修 5 5 解三角形 数列 不等式 解三角形 数列 不等式 以上是每一个高中学生所必须学习的 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础 知识和基本技能的主要部分 其中包括集合 函数 数列 不等式 解三角形 立体几何初 步 平面解析几何初步等 不同的是在保证打 好基础的同时 进一步强调了这些知识的发生 发展过程和实际应用 而不在技巧与难度上做 过高的要求 此外 基础内容还增加了向量 算法 概 率 统计等内容 选修课程选修课程有 4 个系列 系列 1 由 2 个模块组成 选修 1 1 常用逻辑用语 圆锥曲线与方程 导数及其应用 选修 1 2 统计案例 推理与证明 数系的扩 充与复数 框图 系列 2 由 3 个模块组成 选修选修 2 2 1 1 常用逻辑用语 圆锥曲线与方程 常用逻辑用语 圆锥曲线与方程 空间向量与立体几何 空间向量与立体几何 选修选修 2 2 2 2 导数及其应用 推理与证明 数系 导数及其应用 推理与证明 数系 的扩充与复数的扩充与复数 选修选修 2 2 3 3 计数原理 随机变量及其分布列 计数原理 随机变量及其分布列 统计案例 统计案例 系列 3 由 6 个专题组成 选修 3 1 数学史选讲 选修 3 2 信息安全与密码 选修 3 3 球面上的几何 选修 3 4 对称与群 选修 3 5 欧拉公式与闭曲面分类 选修 3 6 三等分角与数域扩充 系列 4 由 10 个专题组成 选修 4 1 几何证明选讲 选修选修 4 4 2 2 矩阵与变换 矩阵与变换 选修 4 3 数列与差分 选修选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 选修 4 5 不等式选讲 选修 4 6 初等数论初步 选修 4 7 优选法与试验设计初步 选修 4 8 统筹法与图论初步 选修 4 9 风险与决策 选修 4 10 开关电路与布尔代数 2 2 重难点及考点 重难点及考点 重点重点 函数 数列 三角函数 平面向量 圆锥曲线 立体几何 导数 难点 难点 函数 圆锥曲线 高考相关考点 高考相关考点 集合与简易逻辑 集合的概念与运算 简易逻 辑 充要条件 函数 映射与函数 函数解析式与定义域 值域与最值 反函数 三大性质 函 数图象 指数与指数函数 对数与对 数函数 函数的应用 数列 数列的有关概念 等差数列 等比数 列 数列求和 数列的应用 三角函数 有关概念 同角关系与诱导公式 和 差 倍 半公式 求值 化 简 证明 三角函数的图象与性 质 三角函数的应用 平面向量 有关概念与初等运算 坐标运算 数量积及其应用 不等式 概念与性质 均值不等式 不等式 的证明 不等式的解法 绝对值不 等式 不等式的应用 直线和圆的方程 直线的方程 两直线的位 置关系 线性规划 圆 直线与圆的位置关系 圆锥曲线方程 椭圆 双曲线 抛物线 直 线与圆锥曲线的位置关系 轨迹问题 圆锥曲线的应用 直线 平面 简单几何体 空间直线 直线 与平面 平面与平面 棱柱 棱锥 球 空间向量 排列 组合和概率 排列 组合应用题 二 项式定理及其应用 概率与统计 概率 分布列 期望 方差 抽样 正态分布 导数 导数的概念 求导 导数的应用 复数 复数的概念与运算 必修必修 1 1 数学数学知识点知识点 第一章 集合与函数概念第一章 集合与函数概念 1 1 11 1 1 集合 集合 1 把研究的对象统称为元素 把一些元素组成的总 体叫做集合 集合三要素 确定性 互异性 无 序性 2 只要构成两个集合的元素是一样的 就称这两个 集合相等 3 常见集合 正整数集合 N或 N 整数集合 Z 有理数集合 Q 实数集合 R 4 集合的表示方法 列举法 描述法 1 1 21 1 2 集合间的基本关系 集合间的基本关系 1 一般地 对于两个集合 A B 如果集合 A 中任意 一个元素都是集合 B 中的元素 则称集合 A 是集 合 B 的子集 记作BA 2 如果集合BA 但存在元素Bx 且Ax 则称集合 A 是集合 B 的真子集 记作 A B 3 把不含任何元素的集合叫做空集 记作 并规 定 空集合是任何集合的子集 4 如果集合 A 中含有 n 个元素 则集合 A 有 n 2个子 集 21 n 个真子集 1 1 31 1 3 集合间的基本运算 集合间的基本运算 1 一般地 由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成 的集合 称为集合 A 与 B 的并集 记作 BA 2 一般地 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素 组成的集合 称为 A 与 B 的交集 记作 BA 3 全集 补集 U C Ax xUxU 且 1 2 11 2 1 函数的概念 函数的概念 1 设 A B 是非空的数集 如果按照某种确定的对应 关系f 使对于集合 A 中的任意一个数x 在集 合 B 中都有惟一确定的数 xf和它对应 那么就 称BAf 为集合 A 到集合 B 的一个函数 记 作 Axxfy 2 一个函数的构成要素为 定义域 对应关系 值 域 如果两个函数的定义域相同 并且对应关系完 全一致 则称这两个函数相等 1 2 21 2 2 函数的表示法 函数的表示法 1 函数的三种表示方法 解析法 图象法 列表法 1 3 11 3 1 单调性与最大 小 值 单调性与最大 小 值 1 注意函数单调性的证明方法 1 1 定义法 定义法 设 2121 xxbaxx 那么 0 21 baxfxfxf在 上是增函数 0 21 baxfxfxf在 上是减函数 步骤 取值 作差 变形 定号 判断 格式 解 设 baxx 21 且 21 xx 则 21 xfxf 2 2 导数法 导数法 设函数 xfy 在某个区间内可导 若0 x f 则 xf为增函数 若0 x f 则 xf为减函数 1 3 21 3 2 奇偶性 奇偶性 1 一般地 如果对于函数 xf的定义域内任意一个 x 都有 xfxf 那么就称函数 xf为 偶函数 偶函数图象关于y轴对称 2 一般地 如果对于函数 xf的定义域内任意一个 x 都有 xfxf 那么就称函数 xf为 奇函数 奇函数图象关于原点对称 知识链接 函数与导数知识链接 函数与导数 1 函数 xfy 在点 0 x处的导数的几何意义 函数 xfy 在点 0 x处的导数是曲线 xfy 在 00 xfxP处的切线的斜率 0 x f 相应的切线方 程是 000 xxxfyy 2 几种常见函数的导数 C0 1 nn nxx xxcos sin xxsin cos aaa xx ln xx ee ax x a ln 1 log x x 1 ln 3 导数的运算法则 1 uvuv 2 uvuvuv 3 2 0 uuvuv v vv 4 复合函数求导法则 复合函数 yf g x 的导数和函数 yf u ug x 的导数间的关系为 xux yyu 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的 乘积 解题步骤 分层 层层求导 作积还原 5 函数的极值 1 极值定义 极值是在 0 x附近所有的点 都有 xf 0 xf 则 0 xf是函数 xf的极大值 极值是在 0 x附近所有的点 都有 xf 0 xf 则 0 xf是函数 xf的极小值 2 判别方法 如果在 0 x附近的左侧 xf 0 右侧 xf 0 那么 0 xf是极大值 如果在 0 x附近的左侧 xf 0 右侧 xf 0 那么 0 xf是极小值 6 求函数的最值 1 求 yf x 在 a b内的极值 极大或者极小值 2 将 yf x 的各极值点与 f af b比较 其中 最大的一个为最大值 最小的一个为极小值 注 注 极值是在局部对函数值进行比较 局部性质 最值是在整体区间上对函数值进行比较 整体性质 第二章 基本初等函数 第二章 基本初等函数 2 1 12 1 1 指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算 1 一般地 如果ax n 那么x叫做a 的n次方根 其中 Nnn 1 2 当n为奇数时 aa nn 当n为偶数时 aa nn 3 我们规定 mn m n aa 1 0 mNnma 0 1 n a a n n 4 运算性质 Qsraaaa srsr 0 Qsraaa rs s r 0 Qrbabaab rr r 0 0 2 1 22 1 2 指数函数及其性质 指数函数及其性质 1 记住图象 1 0 aaay x 2 性质 2 2 12 2 1 对数与对数运算 对数与对数运算 1 指数与对数互化式 log x a aNxN 2 对数恒等式 logaN aN 3 基本性质 01log a 1log a a 4 运算性质 当0 0 1 0 NMaa时 NMMN aaa logloglog NM N M aaa logloglog MnM a n a loglog 5 换底公式 a b b c c a log log log 0 1 0 1 0 bccaa 6 重要公式 loglog n m a a m bb n 1 a 10 a 图 象 6 5 4 3 2 1 1 4 2246 0 1 6 5 4 3 2 1 1 4 2246 0 1 性 质 1 定义域 R 2 值域 0 3 过定点 0 1 即 x 0 时 y 1 4 在 R 上是增函数 4 在 R 上是减函数 5 0 1 x xa 0 01 x xa 5 0 01 x xa 0 1 x xa 0 a1 1 y ax o y x 7 倒数关系 a b b a log 1 log 1 0 1 0 bbaa 2 2 22 2 2 对数函数及其性质 对数函数及其性质 1 记住图象 1 0log aaxy a 2 性质 2 32 3 幂函数 幂函数 1 几种幂函数的图象 第三章 函数的应用第三章 函数的应用 3 1 13 1 1 方程的根与函数的零点 方程的根与函数的零点 1 方程 0 xf有实根 函数 xfy 的图象与x轴有交点 函数 xfy 有零点 2 零点存在性定理 如果函数 xfy 在区间 ba 上的图象是连续不断 的一条曲线 并且有 0 bfaf 那么函数 xfy 在区间 ba 内有零点 即存在 bac 使得 0 cf 这个c也就是方程 0 xf的根 3 1 23 1 2 用二分法求方程的近似解 用二分法求方程的近似解 1 掌握二分法 3 2 13 2 1 几类不同增长的函数模型 几类不同增长的函数模型 3 2 23 2 2 函数模型的应用举例 函数模型的应用举例 1 解决问题的常规方法 先画散点图 再用适当的函 数拟合 最后检验 必修必修 2 2 数学数学知识点知识点 第一章 空间几何体第一章 空间几何体 1 空间几何体的结构 常见的多面体有 棱柱 棱锥 棱台 常见的旋转体有 圆柱 圆锥 圆台 球 棱柱 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行 由这些面所围 成的多面体叫做棱柱 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 底面与 截面之间的部分 这样的多面体叫做棱台 2 空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影 中心投影 的投影线交于一点 把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影 平行投影的投影线是平行的 3 空间几何体的表面积与体积 圆柱侧面积 lrS 2 侧面 圆锥侧面积 lrS 侧面 圆台侧面积 lRlrS 侧面 体积公式 hSV 柱体 hSV 3 1 锥体 hSSSSV 下下上上台体 3 1 1 a 10 a 图 象 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 112345678 0 1 1 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 112345678 0 1 1 性 质 1 定义域 0 2 值域 R 3 过定点 1 0 即 x 1 时 y 0 4 在 0 上是增函数 4 在 0 上是减函数 5 0log 1 xx a 0log 10 xx a 5 0log 1 xx a 0log 10 xx a 0 a1 1 y logax o y x 球的表面积和体积 32 3 4 4RVRS 球球 第二章 点 直线 平面之间的位置关系第二章 点 直线 平面之间的位置关系 1 公理 1 如果一条直线上两点在一个平面内 那么这条 直线在此平面内 2 公理 2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 3 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它 们有且只有一条过该点的公共直线 4 公理 4 平行于同一条直线的两条直线平行 5 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这 两个角相等或互补 6 线线位置关系 平行 相交 异面 7 线面位置关系 直线在平面内 直线和平面平行 直 线和平面相交 8 面面位置关系 平行 相交 9 线面平行线面平行 判定 判定 平面外一条直线与此平面内平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则的一条直线平行 则 该直线与此平面平行 简称该直线与此平面平行 简称线线平行 则线面平行线线平行 则线面平行 性质 性质 一条直线与一个平面平行 则过这条直线的任一一条直线与一个平面平行 则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行 简称平面与此平面的交线与该直线平行 简称线面平行 则线面平行 则 线线平行线线平行 10 面面平行面面平行 判定 判定 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平面平行 简称则这两个平面平行 简称线面平行 则面面平行线面平行 则面面平行 性质 性质 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么 它们的交线平行 简称它们的交线平行 简称面面平行 则线线平行面面平行 则线线平行 11 线面垂直线面垂直 定义 定义 如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线 那么就说这条直线和这个平面垂直 判定 判定 一条直线一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 与一个平面内的两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直 简称则该直线与此平面垂直 简称线线垂直 则线面垂直线线垂直 则线面垂直 性质 性质 垂直于同一个平面的两条直线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行 12 面面垂直面面垂直 定义 定义 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面 角 就说这两个平面互相垂直 判定 判定 一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这两个一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这两个 平面垂直 简称平面垂直 简称线面垂直 则面面垂直线面垂直 则面面垂直 性质 性质 两个平面互相垂直 则一个平面内垂直于交线的两个平面互相垂直 则一个平面内垂直于交线的 直线垂直于另一个平面 简称直线垂直于另一个平面 简称面面垂直 则线面垂直面面垂直 则线面垂直 第三章 直线与方程第三章 直线与方程 1 倾斜角与斜率 12 12 tan xx yy k 2 直线方程 点斜式 00 xxkyy 斜截式 bkxy 两点式 121 121 yyyy xxxx 截距式 1 xy ab 一般式 0 CByAx 3 对于直线 222111 bxkylbxkyl 有 21 21 21 bb kk ll 1 l和 2 l相交 12 kk 1 l和 2 l重合 21 21 bb kk 1 2121 kkll 4 对于直线 0 0 2222 1111 CyBxAl CyBxAl 有 1221 1221 21 CBCB BABA ll 1 l和 2 l相交 1221 BABA 1 l和 2 l重合 1221 1221 CBCB BABA 0 212121 BBAAll 5 两点间距离公式 2 12 2 1221 yyxxPP 6 点到直线距离公式 22 00 BA CByAx d 7 两平行线间的距离公式 1 l 0 1 CByAx与 2 l 0 2 CByAx平行则 22 21 BA CC d 第四章 圆与方程第四章 圆与方程 1 圆的方程 标准方程 标准方程 2 22 rbyax 其中圆心为圆心为 a b 半径为 半径为r 一般方程 一般方程 0 22 FEyDxyx 其中圆心为圆心为 22 DE 半径为 半径为 22 1 4 2 rDEF 2 直线与圆的位置关系 直线0 CByAx与圆 222 rbyax 的位置关系有三种 0 相离rd 0 相切rd 0 相交rd 弦长公式 22 2drl 22 121 2 1 4kxxx x 3 两圆位置关系 21O Od 外离 rRd 外切 rRd 相交 rRdrR 内切 rRd 内含 rRd 3 空间中两点间距离公式 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxPP 必修必修 3 3 数学数学知识点知识点 第一章 算法第一章 算法 1 算法三种语言 自然语言 流程图 程序语言 2 流程图中的图框 起止框 输入输出框 处理框 判断框 流程线等 规范表示方法 3 算法的三种基本结构 顺序结构 条件结构 循环结构 当型循环结构 直到型循环结构 顺序结构示意图 图 1 条件结构示意图 IFIF THENTHEN ELSEELSE 格式 格式 图 2 IFIF THENTHEN 格式 格式 图 3 循环结构示意图 当型当型 WHILE 型 循环结构示意图 图 4 直到型直到型 UNTIL 型 循环结构示意图 图 5 4 基本算法语句 输入语句的一般格式 提示内容 变量 语句 n 1 语句 n 满足条件 语句 1 语句 2 是 否 满足条件 语句 是 否 满足条件 循环体 是 否 满足条件 循环体 是 否 输出语句的一般格式 PRINT 提示内容 表达式 赋值语句的一般格式 变量 表达式 有时也用 条件语句的一般格式有两种 IF THEN ELSE 语句的一般格式为 IF THEN 语句的一般格式为 循环语句的一般格式是两种 当型循环 WHILE 语句的一般格式 直到型循环 UNTIL 语句的一般格式 算法案例 辗转相除法 结果是以相除余数为结果是以相除余数为 0 0 而得到而得到 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下 用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 0 S和 一个余数 0 R 若 0 R 0 则 n 为 m n 的最大公约数 若 0 R 0 则用除数 n 除以余数 0 R得到一个商 1 S和一个余 数 1 R 若 1 R 0 则 1 R为 m n 的最大公约数 若 1 R 0 则用除数 0 R除以余数 1 R得到一个商 2 S和一个余数 2 R 依次计算直至 n R 0 此时所得到的 1n R 即为所求 的最大公约数 更相减损术 结果是以减数与差相等而得到结果是以减数与差相等而得到 利用更相减损术求最大公约数的步骤如下 任意给出两个正数 判断它们是否都是偶数 若是 用 2 约简 若不是 执行第二步 以较大的数减去较小的数 接着把较小的数与 所得的差比较 并以大数减小数 继续这个操作 直 到所得的数相等为止 则这个数 等数 就是所求的 最大公约数 进位制 十进制数化为 k 进制数 除除 k k 取取余法余法 k 进制数化为十进制数 第二章 统计第二章 统计 1 抽样方法 简单随机抽样 总体个数较少 系统抽样 总体个数较多 分层抽样 总体中差异明显 注意 在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本 每个个体被抽到的机会 概率 均为 N n 2 总体分布的估计 一表二图 频率分布表 数据详实 频率分布直方图 分布直观 频率分布折线图 便于观察总体分布趋势 注 总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1 茎叶图 茎叶图适用于数据较少的情况 从中便于看出数据 的分布 以及中位数 众位数等 个位数为叶 十位数为茎 右侧数据按照从小到大 书写 相同的数据重复写 3 总体特征数的估计 平均数 n xxxx x n 321 取值为 n xxx 21 的频率分别为 n ppp 21 则其 平均数为 nnp xpxpx 2211 注意 频率分布表计算平均数要取组中值 方差与标准差 一组样本数据 n xxx 21 方差 2 1 2 1 n i i xx n s 标准差 2 1 1 n i i xx n s 注 方差与标准差越小 说明样本数据越稳定 平均数反映数据总体水平 方差与标准差反映数据的 稳定水平 线性回归方程 变量之间的两类关系 函数关系与相关关系 制作散点图 判断线性相关关系 线性回归方程 abxy 最小二乘法 IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF IF 条件 THEN 语句 END IF 图3 图2 WHILE 条件 循环体 WEND 图4 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 图5 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx aybx 注意 线性回归直线经过定点 yx 第三章 概率 1 随机事件及其概率 事件 试验的每一种可能的结果 用大写英文字母 表示 必然事件 不可能事件 随机事件的特点 随机事件 A 的概率 1 0 AP n m AP 2 古典概型 基本事件 一次试验中可能出现的每一个基本结果 古典概型的特点 所有的基本事件只有有限个 每个基本事件都是等可能发生 古典概型概率计算公式 一次试验的等可能基本事 件共有 n 个 事件 A 包含了其中的 m 个基本事件 则 事件 A 发生的概率 n m AP 3 几何概型 几何概型的特点 所有的基本事件是无限个 每个基本事件都是等可能发生 几何概型概率计算公式 的测度 的测度 D d AP 其中测度根据题目确定 一般为线段 角度 面积 体积等 4 互斥事件 不可能同时发生的两个事件称为互斥事件 如果事件 n AAA 21 任意两个都是互斥事件 则称 事件 n AAA 21 彼此互斥 如果事件 A B 互斥 那么事件 A B 发生的概率 等 于事件 A B 发生的概率的和 即 BPAPBAP 如果事件 n AAA 21 彼此互斥 则有 2121nn APAPAPAAAP 对立事件 两个互斥事件中必有一个要发生 则称 这两个事件为对立事件 事件A的对立事件记作A 1 1 APAPAPAP 对立事件一定是互斥事件 互斥事件未必是对立事 件 必修必修 4 4 数学数学知识点知识点 第一章 三角函数第一章 三角函数 1 1 11 1 1 任意角 任意角 1 正角 负角 零角 象限角的概念 2 与角 终边相同的角的集合 Zkk 2 1 1 21 1 2 弧度制 弧度制 1 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角 2 r l 3 弧长公式 R Rn l 180 4 扇形面积公式 lR Rn S 2 1 360 2 1 2 11 2 1 任意角的三角函数 任意角的三角函数 1 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点 yxP 那么 x y xy tan cos sin 2 设点 A x y为角 终边上任意一点 那么 设 22 rxy sin y r cos x r tan y x cot x y 3 sin cos tan在四个象限的符号和三角 函数线的画法 正弦线 正弦线 MP MP 余弦线 余弦线 OM OM 正切线 正切线 ATAT 5 特殊角 0 30 45 60 90 180 270 等的三角函数值 0 6 4 3 2 2 3 3 4 3 2 2 sin cos tan 1 2 21 2 2 同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式 1 平方关系 1cossin 22 2 商数关系 cos sin tan 3 倒数关系 tancot1 T M A O P x y 1 31 3 三角函数的诱导公式 三角函数的诱导公式 概括为 奇变偶不变 符号看象限奇变偶不变 符号看象限 Zk 1 诱导公式一 tan2tan cos2cos sin2sin k k k 其中 Zk 2 诱导公式二 tantan coscos sinsin 3 诱导公式三 tantan coscos sinsin 4 诱导公式四 tantan coscos sinsin 5 诱导公式五 sin 2 cos cos 2 sin 6 诱导公式六 sin 2 cos cos 2 sin 1 4 11 4 1 正弦 余弦函数的图象和性质 正弦 余弦函数的图象和性质 1 记住正弦 余弦函数图象 2 能够对照图象讲出正弦 余弦函数的相关性质 定 义域 值域 最大最小值 对称轴 对称中心 奇偶性 单调性 周期性 3 会用五点法作图 sinyx 在 0 2 x 上的五个关键点为 3 0 010 120 22 1 4 31 4 3 正切函数的图象与性质 正切函数的图象与性质 1 记住正切函数的图象 y tanx 3 2 2 3 2 2 o y x 2 记住余切函数的图象 y cotx 3 2 2 2 2 o y x 3 能够对照图象讲出正切函数的相关性质 定义域 值域 对称中心 奇偶性 单调性 周期性 周期函数定义 对于函数 xf 如果存在一个非零常数 T 使得当x取定义域内的每一个值时 都有 xfTxf 那么函数 xf就叫做周期函数 非零常数 T 叫做这个函数的周期 图表归纳 图表归纳 正弦 余弦 正切函数的正弦 余弦 正切函数的图像及其图像及其性质性质 xysin xycos xytan 1 1 y cosx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x 1 1 y sinx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x 图图象象 定义域定义域 R R 2 Zkkxx 值域值域 1 1 1 1 R 最值最值 max min 2 1 2 2 1 2 xkkZy xkkZy 时 时 max min 2 1 2 1 xkkZy xkkZy 时 时 无 周期周期性性 2 T 2 T T 奇偶奇偶性性 奇 偶 奇 单调性单调性 Zk 在 2 2 22 kk 上单调递增 在 3 2 2 22 kk 上单调递减 在 2 2 kk 上单调递增 在 2 2 kk 上单调递减 在 22 kk 上单调递增 对称性对称性 Zk 对称轴方程 2 xk 对称中心 0 k 对称轴方程 xk 对称中心 0 2 k 无对称轴 对称中心 0 2 k 1 51 5 函数 函数 xAysin的图象的图象 1 对于函数 sin0 0yAxB A 有 振幅 A 周 期 2 T 初相 相位 x 频率 2 1 T f 2 能够讲出函数xysin 的图象与 sinyAxB 的图象之间的平移伸缩变 换关系 先平移后伸缩 先平移后伸缩 sinyx 平移 个单位 sinyx 左加右减 横坐标不变 sinyAx 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 sinyAx 横坐标变为原来的 1 倍 平移 B个单位 sinyAxB 上加下减 先伸缩后平移 先伸缩后平移 sinyx 横坐标不变 sinyAx 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 sinyAx 横坐标变为原来的 1 倍 平移 个单位 sinyAx 左加右减 平移 B个单位 sinyAxB 上加下减 3 三角函数的周期 对称轴和对称中心 函数sin yx x R 及函数cos yx x R A 为常数 且 A 0 的周期 2 T 函 数tan yx 2 xkkZ A 为 常数 且 A 0 的周期 T 对 于sin yAx 和cos yAx 来 说 对称中心与零点相联系 对称轴与最值点联系对称中心与零点相联系 对称轴与最值点联系 求函数sin yAx 图像的对称轴与对称中心 只需令只需令 2 xkkZ 与与 xkkZ 解出解出x即可即可 余弦函数可与正弦函数类比可得余弦函数可与正弦函数类比可得 4 由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征 maxmin 2 yy A maxmin 2 yy B 要根据周期来求 要用图像的关键点来求 1 61 6 三角函数模型的简单应用 三角函数模型的简单应用 1 要求熟悉课本例题 第三章 三角恒等变换 3 1 13 1 1 两角差的余弦公式 两角差的余弦公式 记住 15 的三角函数值 sin cos tan 12 4 26 4 26 32 3 1 23 1 2 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 1 sincoscossinsin 2 sincoscossinsin 3 sinsincoscoscos 4 sinsincoscoscos 5 tantan 1 tan tan tan 6 tantan 1 tan tan tan 3 1 33 1 3 二倍角的正弦 余弦 正切公式 二倍角的正弦 余弦 正切公式 1 cossin22sin 变形变形 1 2 sincossin2 2 22 sincos2cos 1cos2 2 2 sin21 变形如下 变形如下 升幂升幂公式公式 2 2 1 cos22cos 1 cos22sin 降幂降幂公式公式 2 2 1 cos 1 cos2 2 1 sin 1 cos2 2 3 2 tan1 tan2 2tan 4 sin21 cos2 tan 1 cos2sin2 3 23 2 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换 1 注意正切化弦 平方降次 2 2 辅助角公式辅助角公式 sin cossin 22 xbaxbxay 其 中其 中 辅 助 角辅 助 角 所 在 象 限 由 点所 在 象 限 由 点 a b的 象 限 决的 象 限 决 定定 tan b a 第二章 平面向量第二章 平面向量 2 1 12 1 1 向量的物理背景与概念 向量的物理背景与概念 1 了解四种常见向量 力 位移 速度 加速度 2 既有大小又有方向的量叫做向量 2 1 22 1 2 向量的几何表示 向量的几何表示 1 带有方向的线段叫做有向线段 有向线段包含三 个要素 起点 方向 长度 2 向量AB的大小 也就是向量AB的长度 或称 模 记作AB 长度为零的向量叫做零向量 长 度等于 1 个单位的向量叫做单位向量 3 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 或共 线向量 规定 零向量与任意向量平行 2 1 32 1 3 相等向量与共线向量 相等向量与共线向量 1 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 2 2 12 2 1 向量加法运算及其几何意义 向量加法运算及其几何意义 1 三角形加法法则和平行四边形加法法则 2 ba ba 2 2 22 2 2 向量减法运算及其几何意义 向量减法运算及其几何意义 1 与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量 2 三角形减法法则和平行四边形减法法则 2 2 32 2 3 向量数乘运算及其几何意义 向量数乘运算及其几何意义 1 规定 实数 与向量a的积是一个向量 这种运 算叫做向量的数乘 记作 a 它的长度和方向 规定如下 aa 当0 时 a 的方向与a的方向相同 当 0 时 a 的方向与a的方向相反 2 平面向量共线定理 向量 0 aa与b 共线 当 且仅当有唯一一个实数 使ab 2 3 12 3 1 平面向量基本定理 平面向量基本定理 1 平面向量基本定理 如果 21 e e是同一平面内的两 个不共线向量 那么对于这一平面内任一向量a 有且只有一对实数 21 使 2211 eea 2 3 22 3 2 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的正交分解及坐标表示 1 yxjyi xa 2 3 32 3 3 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 1 设 2211 yxbyxa 则 2121 yyxxba 2121 yyxxba 11 y xa 1221 yxyxba 2 设 2211 yxByxA 则 1212 yyxxAB 2 3 42 3 4 平面向量共线的坐标表示 平面向量共线的坐标表示 1 设 332211 yxCyxByxA 则 线段 AB 中点坐标为 22 2121 yyxx ABC 的重心坐标为 33 321321 yyyxxx 2 4 12 4 1 平面向量数量积的物理背景及其含义 平面向量数量积的物理背景及其含义 1 cosbaba 2 a在b方向上的投影为 cosa 3 2 2 aa 4 2 aa 5 0 baba 2 4 22 4 2 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 1 设 2211 yxbyxa 则 2121 yyxxba 2 1 2 1 yxa 1 212 00aba bx xy y 1221 0ababx yx y 2 设 2211 yxByxA 则 2 12 2 12 yyxxAB 3 3 两向量的夹角公式两向量的夹角公式 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy 4 4 点的平移公式 点的平移公式 平移前的点为 P x y 原坐标 平移后的对应点 为 P x y 新坐标 平移向量为 PPh k 则 xxh yyk 函数 yf x 的图像按向量 ah k 平移后的 图像的解析式为 ykf xh 2 5 12 5 1 平面几何中的向量方法 平面几何中的向量方法 2 5 22 5 2 向量在物理中的应用举例 向量在物理中的应用举例 知识链接 空间向量知识链接 空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得 下面对空间向量在立体几何中证明 求值的应用进行 总结归纳 1 1 直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量 若 A B 是直线l上的任意两点 则AB为直线l的 一个方向向量 与AB平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量 平面的法向量 若向量n所在直线垂直于平面 则称这个向量 垂直于平面 记作n 如果n 那么向量n 叫做平面 的法向量 平面的法向量的求法 平面的法向量的求法 待定系数法待定系数法 建立适当的坐标系 设平面 的法向量为 nx y z 求出平面内两个不共线向量的坐标 123123 aa a abb b b 根据法向量定义建立方程组 0 0 n a n b 解方程组 取其中一组解 即得平面 的法向量 如图 2 2 用向量方法判定空间中的平行关系用向量方法判定空间中的平行关系 线线平行线线平行 设直线 12 l l的方向向量分别是a b 则要证明 1 l 2 l 只需证明a b 即 akb kR 即 两直线平行或重合两直线的方向向量共线 线面平行线面平行 法一 设直线l的方向向量是a 平面 的法向 量是u 则要证明l 只需证明au 即 0a u 即 直线与平面平行直线的方向向量与该平面 的法向量垂直且直线在平面外 法二 要证明一条直线和一个平面平行 也可 以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可 面面平行面面平行 若平面 的法向量为u 平面 的法向量为v 要 证 只需证u v 即证uv 即 两平面平行或重合两平面的法向量共线 3 3 用向量方法判定空间的垂直关系用向量方法判定空间的垂直关系 线线垂直线线垂直 设直线 12 l l的方向向量分别是a b 则要证明 12 ll 只需证明ab 即0a b 即 两直线垂直两直线的方向向量垂直 线面垂直线面垂直 法一 设直线l的方向向量是a 平面 的法向 量是u 则要证明l 只需证明a u 即au 法二 设直线l的方向向量是a 平面 内的两 个相交向量分别为mn 若 0 0 a m l a n 则 即 直线与平面垂直直线的方向向量与平面的 法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线 直线的方向向量都垂直 面面垂直面面垂直 若平面 的法向量为u 平面 的法向量为v 要 证 只需证uv 即证0u v 即 两平面垂直两平面的法向量垂直 4 4
