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使用 Trapezoidal Rule（梯形法则）求积分

时间：2023-06-23 08:01:00

Trapezoidal Rule

思想原理

为了求解积分值，人们想到一种近似方法。假设要求 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上的积分，将积分区间等长分成 nnn 段，则每两个分段点之间的距离 h=b−anh=\frac{b−a}{n}h=nb−a，然后如下图进行近似

则该区间上的积分值就近似等同于每个小梯形的面积之和。

推导过程

如上图所示，∫abf(x)\int_{a}^{b}f(x)∫abf(x) 的结果，就是上图中所有梯形面积总和。

梯形面积

第一个梯形（最左边）的上底 f(x0)f(x_0)f(x0)，下底 f(x1)f(x_1)f(x1)，高为 h=b−anh=\frac{b-a}{n}h=nb−a，因此对应的面积为 S1=(f(x0)+f(x1))∗h/2=(f(x0)+f(x1))∗h2S_1=(f(x_0)+f(x_1))*h/2=\frac{(f(x_0)+f(x_1))*h}{2}S1=(f(x0)+f(x1))∗h/2=2(f(x0)+f(x1))∗h。

以此类推，最后一个（最右边）的上上底 f(xn−1)f(x_{n-1})f(xn−1)，下底 f(xn)f(x_n)f(xn)，高为 h=b−anh=\frac{b-a}{n}h=nb−a，因此对应的面积为 Sn=(f(xn−1)+f(xn))∗h/2=(f(xn−1)+f(xn))∗h2S_n=(f(x_{n-1})+f(x_n))*h/2=\frac{(f(x_{n-1})+f(x_n))*h}{2}Sn=(f(xn−1)+f(xn))∗h/2=2(f(xn−1)+f(xn))∗h。

因此，所有梯形的总面积为

∫abf(x)≈∑i=1n(Si)=S0+...+Sn=h2[f(x0)+f(x1)+f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn−2)+f(xn−1)+f(xn−1)+f(xn)]=(b−a)2∗n[f(x0)+2∑i=1nf(xi)+f(xn)]\int_{a}^{b}f(x) \approx \sum_{i=1}^{n}(S_i)=S_0+...+S_n\\ =\frac{h}{2}[f(x_0)+f(x_1)+f(x_1)+f(x_2)+\cdots + f(x_{n-2})+ f(x_{n-1})+ f(x_{n-1})+ f(x_{n})]\\ =\frac{(b-a)}{2*n}[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n}f(x_i)+f(x_n)]∫abf(x)≈i=1∑n(Si)=S0+...+Sn=2h[f(x0)+f(x1)+f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn−2)+f(xn−1)+f(xn−1)+f(xn)]=2∗n(b−a)[f(x0)+2i=1∑nf(xi)+f(xn)]

C++ implement

输入

根据上面的公式，我们可以总结出，输入包括以下几个：

1、f(x)f(x)f(x)。即需要积分的函数。

2、x0x_0x0。即积分开始点。

3、xnx_nxn。即积分结束点。

4、nnn。即毕竟的次数。

f(x)f(x)f(x) 函数

和前面的设计一样，使用外部函数实现。对应的函数原型如下：

//输入x，计算对应的y值。double f(double x);

主框架

类似前面的计算，主要用于输入数据。

#include <iostream>using namespace std;//输入x，计算对应的y值。double f(double x);int main() {//变量定义double lower;//起点坐标double upper;//终点坐标int step;//迭代次数cout<<"Enter lower limit of integration:";cin>>lower;cout<<"Enter upper limit of integration:";cin>>upper;cout<<"Enter number of sub intervals:";cin>>step;//计算 hdouble h=(upper-lower)/step;//计算f(x0)+f(xn)double ans=f(lower)+f(upper);//开始迭代double x=lower;for (int i=1; i<step; i++) {x += h;ans += 2*f(x);}ans = ans*h/2;//结果输出cout<<"Required value of integration is: "<<ans<<"\n";return 0;}