庞加莱猜想最早是由法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（俄语：Григорий Яковлевич Перельман）完成最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但并未现身领奖[1][2]。
目录
[隐藏] 1基本描述2证明历史 2.120世纪2.221世纪 3最终证明争议4注释5相关资讯6参见7外部链接
基本描述[编辑]
在1900年，庞加莱曾声称，用他基于恩里科·贝蒂的工作而发展出的同调论，可以判定一个三维流形是否三维球面。不过，他在1904年发表的一篇论文中，举出了一个反例，现在称为庞加莱同调球面，与三维球面有相同的同调群。他引进了一个新的拓扑不变量，称为基本群，并且证明他的反例与三维球面的基本群不同。三维球面有平凡基本群，也就是说是单连通的。他提出以下猜想：
任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。
上述简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为：如果我们伸缩围绕一个柳橙表面的橡皮筋，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮筋以适当的方向被伸缩在一个甜甜圈表面上，那么不扯断橡皮筋或者甜甜圈，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。我们说，柳橙表面是“单连通的”，而甜甜圈表面则不是。
该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响，对于一维与二维的情形，此猜想是对的，现在已经知道，它对于任何维数都是对的。
证明历史[编辑]
20世纪[编辑]
这个问题曾经被搁置了很长时间，直到1930年怀特海（J. H. C. Whitehead）首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。怀特海提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为怀特海流形。
1950和1960年代，又有许多著名的数学家包括R·H·宾（R. H. Bing）、沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）、爱德华·摩斯（Edwin E. Moise）和Christos Papakyriakopoulos声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。这段时间对于低维拓扑的发展非常重要。这个猜想逐渐以证明极难而知名，但是证明此猜想的工作增进了对三流形的理解。1981年美国数学家麦克·傅利曼（Michael Freedman）证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。
1982年，理查德·哈密顿引入了“里奇流”的概念，并以此证明了几种特殊情况下的庞加莱猜想。在此后的几年中，他进一步地发展了此方法，后来被佩雷尔曼的证明所使用。
21世纪[编辑]
俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼
在2002年11月和7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。[3][4][5]
在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密歇根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。
8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖，但佩雷尔曼拒绝接受该奖[6]。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
3月18日，克雷数学研究所对外公布，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼因为破解庞加莱猜想而荣膺千禧年大奖[7][8]。
最终证明争议[编辑]
参见：流形的命运
6月3日，曹怀东和朱熹平公开声称佩雷尔曼对于庞加莱猜想证明中有漏洞，由他们补全，做出最终证明，于《亚洲数学期刊》发表论文。据报道[9]，丘成桐曾表示曹怀东和朱熹平才是第一个给出了庞加莱猜想的完全证明[10]。
8月28日出版的《纽约客》杂志发表西尔维亚·娜莎和大卫·格鲁伯的长文《流形的命运——传奇问题以及谁是破解者之争》。该文介绍了佩雷尔曼等人的工作并描画了“一个令人厌恶的丘成桐的形象，暗示他为他的学生曹怀东和他支持的朱熹平的工作宣传了过多的功劳。”[11]，因曹怀东与朱熹平的论文未经同行评审，丘成桐被质疑以期刊主编的身份，发表有利于他们研究团队的论文成果。此文发表后，引发了很大争议。丘成桐表示可能采取法律行动，由律师发出信函，要求杂志更正，包括汉密尔顿在内的多名数学家发表声明表示文章没有正确地反映他们对丘的评价。
一名加州理工学院的研究者指出曹、朱论文[10]中引理7.1.2与克莱纳和洛特发表的成果[12]几乎完全相同。据此，洛特指责曹和朱两人有剽窃的行为。此后，曹怀东和朱熹平在原刊发表纠错声明，确认了此引理是克莱纳和洛特的成果，解释没有指明出处是由于编辑上的差错，并为此向两位原作者致歉。在12月发表的修正论文《庞加莱猜想与几何化猜想的汉米尔顿－佩雷尔曼证明》（Hamilton-Perelman's Proof of the Poicare Conjecture and the Geometrization Conjecture）中，曹怀东与朱熹平不再宣称是由他们做出最终证明，他们的工作只是对汉米尔顿－佩雷尔曼证明做出详尽阐述。
注释[编辑]
^Последнее "нет" доктора Перельмана,Interfax1 July
^Malcolm Ritter.Russian mathematician rejects $1 million prize.APonPhysOrg. -07-01[-05-15].^Perelman, Grigori. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications.arXiv:math.DG/0211159[math.DG]. 2002.
^Perelman, Grigori. Ricci flow with surgery on three-manifolds.arXiv:math.DG/0303109[math.DG]. .
^Perelman, Grigori. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds.arXiv:math.DG/0307245[math.DG]. .
^数学隐士荣获千禧年大奖 会否领取百万美元奖金成为悬疑
^First Clay Mathematics Institute Millennium Prize Announced Today
^Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman
^百年数学难题被破解 中国科学家“最后封顶”（新闻）^
10.010.1Asian Journal of Mathematics (June )^[1]《科学》终专题文章 － 丹娜·麦肯锡，翻译原载于新语丝网站^原作在http://www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html, 现移动到http://www.math.lsa.umich.edu/~lott/ricciflow/perelman.html. 克莱纳和洛特的结果最终发表于arXiv:math.DG/0605667, 5月25日。相关资讯[编辑]
Bruce Kleiner, John Lott. Notes on Perelman's papers. Geometry and Topology. ,12(5): 2587–2855.arXiv:math/0605667.doi:10.2140/gt..12.2587.Huai-Dong Cao, Xi-Ping Zhu. Hamilton-Perelman's Proof of the Poincaré Conjecture and the Geometrization Conjecture.arXiv:math.DG/0612069[math.DG]. December 3, .John W. Morgan, Gang Tian. Ricci Flow and the Poincaré Conjecture.arXiv:math/0607607[math.DG]. .: Detailed proof, expanding Perelman's papers.O'Shea, Donal. The Poincaré Conjecture: In Search of the Shape of the Universe.Walker & Company. December 26, .ISBN978-0-8027-1654-5.Perelman, Grisha. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications.arXiv:math.DG/0211159[math.DG]. November 11, 2002.Perelman, Grisha. Ricci flow with surgery on three-manifolds.arXiv:math.DG/0303109[math.DG]. March 10, .Perelman, Grisha. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds.arXiv:math.DG/0307245[math.DG]. July 17, .Szpiro, George. Poincaré's Prize: The Hundred-Year Quest to Solve One of Math's Greatest Puzzles.Plume. July 29, .ISBN978-0-452-28964-2.John Stillwell. Poincaré and the early history of 3-manifolds. Bulletin of the American Mathematical Society. ,49(4): 555–576.参见[编辑]
千禧年大奖难题外部链接[编辑]
佩雷尔曼发表在上的论文 流形的命运——传奇问题以及谁是破解者之争, 西尔维亚·娜莎、大卫·格鲁伯，原载于《纽约客》。原文年度重大突破：庞加莱猜想--终于被证明，一个世纪数学问题的解决变成一场喜忧参半的奖励，《科学》终专题文章 - 丹娜·麦肯锡。原文
